Validité des éléments finis de Lagrange de degré 1 et 2 - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Accéder directement au contenu
Rapport (Rapport De Recherche) Année : 2013

Validité des éléments finis de Lagrange de degré 1 et 2

Résumé

A finite element is valid if its jacobian is strictly positive everywhere. The jacobian is the determinant of the jacobian matrix related to the partials of the mapping function which maps the parameter space (reference element) to the current element. Apart when it is constant, the jacobian is a polynomial whose degree is related to the degree of the finite element (but not the same in general). The value of the jacobian varies after the point where it is evaluated. Validating an element relies in finding the sign of this polynomial when one traverses the element. \par This paper, actually a synthesis of various reports, shows how to calculating the jacobian of the different usual Lagrange finite elements of degree~1 and 2. To this end, we take the form of this polynomial as obtained in the classical finite element framework (shape functions and nodes) or after reformulating the element by means of a Bezier form (Bernstein polynomials and control points) which makes easier the discussion. We exhibit sufficient (necessary and sufficient in some cases) conditions to ensure the validity of a given element.
Un élément fini est valide si son jacobien est strictement positif partout. Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne construite á partir des dérivées de la transformation de l'espace de paramétres (élément de référence) vers l'élément courant. Hormis les cas oú le jacobien est constant, en général il est un polynôme de degré lié au degré de l'élément fini (mais pas le même sauf dans quelques cas) dont la valeur dépend du point de calcul. Valider un élément revient donc á étudier le signe de ce polynôme quand on parcourt l'élément. \par Ce papier, qui réalise la synthése de plusieurs rapports, montre comment calculer le jacobien des différents éléments finis de Lagrange usuels de degré~1 et~2. L'étude du signe du jacobien se fait soit directement en analysant sa forme telle qu'obtenue dans l'écriture classique éléments finis (fonctions de forme et n{\oe}uds) soit en formulant les éléments dans le formalisme de Bézier (polynômes de Bernstein et points de contrôle) qui en facilite l'analyse. L'étude donne des conditions de validité qui sont suffisantes (nécessaires et suffisantes dans certains cas).
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Dates et versions

hal-00869158 , version 1 (02-10-2013)

Identifiants

  • HAL Id : hal-00869158 , version 1

Citer

Paul-Louis George, Houman Borouchaki. Validité des éléments finis de Lagrange de degré 1 et 2. [Rapport de recherche] RR-8376, INRIA. 2013, pp.94. ⟨hal-00869158⟩
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