Which parallel transport for the statistical analysis of longitudinal deformations?
Abstract
Follow-up imaging studies require the population-wise evaluation of the anatomical changes over time for specific clinical groups. A typical example is the analysis of structural brain changes with aging in Alzheimer's disease. The longitudinal morphological changes for a specific subject can be evaluated through the non-rigid registration. However, to perform a longitudinal group-wise analysis, the subjectspecific longitudinal trajectories need to be transported in a common reference. The analysis of existing transport methods suggests that the inconsistency of the discrete approximations with composition could drown the small longitudinal deformations into the large inter-subject variability. Instead of approximating a continuous parallel transport in an inconsistent discrete setting, we propose to rely on a carefully designed discrete construction that intrinsically respects all the symmetries on the problem: the Schild's Ladder procedure. We show that the Schild's ladder procedure can be implemented extremely efficiently with great stability in the framework of diffeomorphisms parameterized by stationary velocity fields (SVF). The proposed algorithm proves to overcome other methods in terms of consistency with respect to the resampling of most scalar measures of deformations, which opens the way to stable and hopefully more powerful group-wise statistics of longitudinal deformations
Les 'etudes longitudinales en imagerie requi'erent l''evaluation des changements anatomiques au cours du temps sur des populations repr'esentatives de groupes cliniques. Un exemple typique est l''evaluation des modifications structurales du cerveau avec le vieillissement dans la maladie d'Alzheimer. Pour un sujet donn'e, les changements morphologiques longitudinaux peuvent ˆetre 'evalu'es grˆace au recalage non-rigide. Cependant, ces trajectoires longitudinales doivent ˆetre replac'ees dans un r'ef'erentiel commun pour ˆetre analys'ees au niveau du groupe. Or si le transport de fonctions scalaires est clair, le transport de vecteurs ou de d'eformations est moins bien d'efini. L'analyse des m'ethodes existantes sugg'ere que l'inconsistance des approximations discr'etes avec la composition de transformations puisse noyer les d'eformation longitudinale relativement faible dans la tr'es grande variabilit'e inter-sujets. Au lieu d'approximer le transport parall'ele continu avec des sch'emas discrets inconsistants, nous proposons d'utiliser une construction discr'ete qui respecte intrins'equement toutes les sym'etries du probl'eme : l''echelle de Schild. Nous proposons une reformulation particuli'erement simple dans le cas des cadre de diff'eomorphismes param'etr'es par des champs de vecteurs stationnaires. Les deux algorithmes impl'ementant cette construction s'av'erent tr'es efficace et plus consistante que les autres m'ethodes avec le r'e'echantillonage de la plupart des mesures scalaires r'esumant la d'eformation longitudinale. Ceci ouvre la voie des statistiques plus stables sur la transformation de groupe et des statistiques de groupe longitudinales plus puissantes.