hal-00333170, version 1

Asymptotics for a gradient system with memory term

Alexandre Cabot () ¹

Proceedings of the American Mathematical Society 137 (2009) 3013-3024

• 1 :  Institut de Mathématiques et de Modélisation de Montpellier (I3M)
• http://www.math.univ-montp2.fr/
  CNRS : UMR5149 – Université Montpellier II - Sciences et techniques Case Courrier 051 Place Eugène Bataillon 34095 MONTPELLIER CEDEX 5 France

Références bibliographiques

• Type de publication : Articles dans des revues avec comité de lecture
• Domaine :

  Mathématiques/Analyse classique

  Mathématiques/Optimisation et contrôle

• Titre : Asymptotics for a gradient system with memory term
• Résumé : Given a Hilbert space $H$ and a function $\Phi:H\to\R$ of class $\cC^1$, we investigate the asymptotic behavior of the trajectories associated to the following dynamical system $$\dot x(t) +\frac{1}{k(t)}\, \int_{t_0}^t h(s)\, \nabla \Phi(x(s))\, ds=0, \qquad t\geq t_0,\leqno (S)$$ where $h$, $k: [t_0,+\infty)\to \R_+^*$ are continuous maps. When $k(t) \sim \int_{t_0}^t h(s)\, ds$ as $t\to+\infty$, this equation can be interpreted as an averaged gradient system. We define a natural energy function $E$ associated to system $(S)$ and we give conditions which ensure that $E(t)$ decreases to $\inf \Phi$ as $t\to +\infty$. When $\Phi$ is convex and has a set of non-isolated minima, we show that the trajectories of $(S)$ cannot converge if the average process does not ''privilege'' the recent past. A special attention is devoted to the particular case $h(t)=t^\alpha$, $k(t)=t^\beta$, which is fully treated.
• Langue du texte
  intégral : Anglais
• Date de production,
  écriture : 22/10/2008
• Journal :

  Proceedings of the American Mathematical Society
  Publisher	American Mathematical Society
  ISSN	0002-9939

• Audience : internationale
• Date de publication : 2009
• Volume : 137
• Page, identifiant, ... : 3013-3024
• Mots Clés : Differential equation – dissipative dynamical system – averaged gradient system – memory effect – Bessel equation
• Classification : 34G20, 34A12, 34D05

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• Contributeur : Alexandre Cabot <>
• Soumis le : Mercredi 22 Octobre 2008, 16:21:09
• Dernière modification le : Mardi 19 Février 2013, 12:09:51