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hal-00490516, version 2

Spectrum of non-Hermitian heavy tailed random matrices

Charles Bordenave () 1, Pietro Caputo () 2, Djalil Chafai (Auteur à contacter de préférence) 3

Résumé : Let (X_{jk})_{j,k>=1} be i.i.d. complex random variables such that |X_{jk}| is in the domain of attraction of an alpha-stable law, with 0< alpha <2. Our main result is a heavy tailed counterpart of Girko's circular law. Namely, under some additional smoothness assumptions on the law of X_{jk}, we prove that there exists a deterministic sequence a_n ~ n^{1/alpha} and a probability measure mu_alpha on C depending only on alpha such that with probability one, the empirical distribution of the eigenvalues of the rescaled matrix a_n^{-1} (X_{jk})_{1<=j,k<=n} converges weakly to mu_alpha as n tends to infinity. Our approach combines Aldous & Steele's objective method with Girko's Hermitization using logarithmic potentials. The underlying limiting object is defined on a bipartized version of Aldous' Poisson Weighted Infinite Tree. Recursive relations on the tree provide some properties of mu_alpha. In contrast with the Hermitian case, we find that mu_alpha is not heavy tailed.

  • 1 :  Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT)
  • Université Paul Sabatier [UPS] - Toulouse III – Université Toulouse le Mirail - Toulouse II – Université des Sciences Sociales - Toulouse I – Institut National des Sciences Appliquées (INSA) - Toulouse – CNRS : UMR5219
  • 2 :  Dipartimento di Matematica [Roma TRE]
  • Università degli Studi Roma TRE
  • 3 :  Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (LAMA)
  • Université Paris-Est Marne-la-Vallée (UPEMLV) – Université Paris-Est Créteil Val-de-Marne (UPEC) – CNRS : UMR8050 – Fédération de Recherche Bézout
  • Domaine : Mathématiques/Probabilités
    Mathématiques/Théorie spectrale
  • Mots-clés : Spectral theory – Objective method – Operator convergence – Logarithmic potential – Random matrices – Random Graphs – Heavy tailed distributions – alpha-stable laws.
  • Commentaire : minor fixups
  • Versions disponibles :  v1 (09-06-2010) v2 (11-06-2010) v3 (03-05-2011) v4 (24-08-2011) v5 (14-10-2011)
 
  • hal-00490516, version 2
  • http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00490516
  • oai:hal.archives-ouvertes.fr:hal-00490516
  • Contributeur : Djalil Chafaï <>
  • Soumis le : Jeudi 10 Juin 2010, 12:19:01
  • Dernière modification le : Vendredi 11 Juin 2010, 14:46:41