Résumé : Nous nous intéressons aux approches par EDP pour la régularisation
d'images multivaluées, et leurs applications à une large classe de
problèmes d'intérêts. L'étude et la comparaison des méthodes
existantes nous permet à la fois de proposer un cadre mathématique
commun mieux adapté aux interprétations géométriques locales de
ces EDP, mais aussi de concevoir des schémas numériques efficaces
pour leur mise en oeuvre.
Nous développons de cette façon une nouvelle approche de régularisation multivaluée vérifiant certaines propriétés géométriques locales importantes, qui peut être utilisée dans de nombreuses applications différentes. Nous abordons ensuite le problème lié à la régularisation de données multivaluées
contraintes. Un formalisme variationel est proposé afin de traiter
dans un cadre unifié, des données de direction comme les champs de
vecteurs unitaires, de matrices de rotation, de tenseurs de diffusion etc.
Les solutions apportées sont analysées et utilisées avec succès pour résoudre de nombreux problèmes, notamment la régularisation et l'interpolation d'images couleurs, la visualisation de flots, la régularisation de mouvements rigides estimés à partir de
séquences vidéos, et l'aide à la reconstruction de réseaux cohérents de fibres dans la matière blanche du cerveau, à partir de la régularisation d'images d'IRM de diffusion.