Résumé : Cette thèse présente un algorithme robuste et efficace du calcul
d'une forme paramétrée exacte de la courbe d'intersection de deux
quadriques définies par des équations implicites à coefficients rationnels. Pour la première fois, le
paramétrage que nous obtenons contient toutes les informations
topologiques de la courbe et est assez simple pour être exploité
dans des applications géométriques non triviales.

De nombreux progrès, dans différents domaines, ont été
nécessaires pour atteindre ce résultat. Nous avons réalisé une étude
exhaustive de tous les cas possibles d'intersection, d'abord dans
$\Pp^3(\C)$ en nous basant sur les travaux de Segre, puis dans $\Pp^3(\R)$
en exploitant les résultats d'Uhlig sur la réduction simultanée de
deux formes quadratiques réelles. Cette étude systématique nous a
permis de maîtriser complètement la géométrie inhérente à
l'intersection de deux quadriques. Nous sommes maintenant capables
de déterminer toutes les caractéristiques de la courbe
d'intersection, à savoir son genre, ses points singuliers, le nombre
de ses composantes algébriques et connexes, et les incidences entre
ces composantes. Quand il en existe, nous
trouvons un paramétrage rationnel des composantes de la courbe
d'intersection. En ce sens, notre algorithme est optimal.
Nous avons aussi fait des progrès significatifs sur la complexité de l'expression radicale des
coefficients du paramétrage obtenu.
Notre résultat est quasi-optimal dans le sens où les coefficients du paramétrage
de la courbe d'intersection que nous calculons contiennent au plus
une racine carrée non nécessaire dans leur expression.
De plus, notre résultat est optimal dans le cas le pire,
dans le sens où pour chaque type de courbe d'intersection
(par exemple une quartique régulière, ou une cubique et une droite, ou
deux coniques), il existe des paires de quadriques pour lesquelles le
nombre de racines carrées apparaissant dans l'expression des
coefficients de notre paramétrage est minimal.

Enfin, nous avons réalisé une implantation complète de notre
algorithme en MuPAD qui nous a permis d'afficher des
performances inédites, tant en terme de vitesse d'exécution qu'en terme de
simplicité du résultat obtenu.