Stability and dispersion analysis of improved time discretization for simply supported prestressed Timoshenko systems. Application to the stiff piano string.
Résumé
We study the implicit time discretization of piano strings governing equations within the Timoshenko prestressed beam model. Such model features two different waves, namely the flexural and shear waves, that propagate with very different velocities. We present a novel implicit time discretization that reduces the numerical dispersion while allowing the use of a large time step in the numerical computations. After analyzing the continuous system and the two branches of eigenfrequencies associated with the propagating mode{s}, the classical $\theta$-scheme is studied. We present complete {new} proofs of stability using energy-based approaches that provide uniform results with respect to the featured time step. A dispersion analysis confirm{s} that $\theta=1/12$ reduces the numerical dispersion, but yields a severely constrained stability condition for the application considered. Therefore we propose a new $\theta$-like scheme, which allows to reduce the numerical dispersion while relaxing this stability condition. Stability proofs {are} also provided for this new scheme. Theoretical results {are} illustrated with numerical experiments corresponding to the simulation of a realistic piano string.
Nous étudions la discrétisation implicite en temps des équations permettant de modéliser les cordes de piano, grâce au modéle de poutre précontrainte de Timoshenko. Ce modéle considére la propagation de deux ondes (de flexion et de cisaillement) à des vitesses très différentes. Nous présentons une nouvelle discrétisation en temps implicite qui permet de réduire la dispersion numérique tout en autorisant un grand pas de temps lors des simulations numériques. Après avoir analysé le système continu et ses deux branches de fréquences propres, associées à des modes propres, le $\theta$-schéma classique est étudié. Nous présentons des preuves nouvelles de stabilité, basées sur une approche énergétique et qui fournissent des estimations uniformes par rapport au pas de temps. Une analyse de dispersion confirme que la valeur $\theta = 1/12$ réduit la dispersion numériques, mais conduit à une condition de stabilité très sévère pour l'application considérée. Nous proposons donc un nouveau schéma de type $\theta$-schéma, qui permet de réduire la dispersion numérique tout en relaxant la restriction sur le pas de temps. % basé sur une $\theta$-approximation différente pour chaque type d'onde présente dans le système. Des preuves de stabilité sont également fournies pour ce nouveau schéma. Les résultats théoriques sont illustrés par des expériences numériques correspondant à la simulation d'une corde de piano réaliste.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)