A constructive study of the module structure of rings of partial differential operators

Alban Quadrat 1, 2 Daniel Robertz 3
1 DISCO - Dynamical Interconnected Systems in COmplex Environments
L2S - Laboratoire des signaux et systèmes, Inria Saclay - Ile de France, SUPELEC, CNRS - Centre National de la Recherche Scientifique : UMR8506
Résumé : Ce papier a pour but de développer des versions constructives des théorèmes de Stafford qui étudient la structure des modules sur les algèbres de Weyl A_n(k) (c'est-à-dire, sur les anneaux d'opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux), où k est un corps de caractéristique zéro. Plus généralement, en utilisant des idées de Stafford et Coutinho-Holland, nous développons des versions constructives des théorèmes de Stafford pour des anneaux fortement simples D. Cette algorithmisation est basée sur le fait que certaines équations quadratiques inhomogènes admettent des solutions dans un anneau fortement simple. Nous montrons comment obtenir de manière explicite un élément unimodulaire d'un D-module à gauche de type fini de rang au moins 2. Ce résultat est utilisé pour décomposer tout D-module à gauche de type fini en une somme directe d'un D-module libre à gauche et d'un D-module à gauche de rang au plus 1. Si ce dernier est sans-torsion, nous montrons alors de manière explicite qu'il est isomorphe à un idéal à gauche pouvant être engendré par deux éléments. Nous donnons alors un algorithme qui réduit à deux le nombre de générateurs d'un D-module à gauche de présentation finie possédant un module de relations de rang au moins 2. En particulier, tout D-module à gauche de type fini peut être engendré par deux éléments et il est l'image d'un idéal projectif dont la construction est explicitement donnée. De plus, un D-module à gauche de rang r, qui n'est ni de torsion, ni libre, peut être engendré par r+1 éléments et pas moins. Ces résultats sont implantés dans le package Stafford pour D=A_n(k) et l'interprétation en terme de théorie mathématique des systèmes donnée est basée sur l'approche des D-modules. Finalement, nous montrons que ces résultats sont aussi valables pour les anneaux d'opérateurs différentiels ordinaires à coefficients dans l'anneau des séries formelles ou l'anneau des séries localement convergentes et, grâce à un résultat de Caro et Levcovitz, pour les anneaux d'opérateurs aux dérivées partielles à coefficients dans le corps de fractions de l'anneau des séries formelles ou celui des séries localement convergentes.
Type de document :
Rapport
[Research Report] RR-8225, INRIA. 2013, pp.124
Liste complète des métadonnées

Littérature citée [40 références]  Voir  Masquer  Télécharger

https://hal.inria.fr/hal-00785003
Contributeur : Alban Quadrat <>
Soumis le : lundi 4 mars 2013 - 12:11:19
Dernière modification le : jeudi 5 avril 2018 - 12:30:13
Document(s) archivé(s) le : dimanche 2 avril 2017 - 08:48:14

Fichier

Staffordthms.pdf
Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Identifiants

  • HAL Id : hal-00785003, version 2

Collections

Citation

Alban Quadrat, Daniel Robertz. A constructive study of the module structure of rings of partial differential operators. [Research Report] RR-8225, INRIA. 2013, pp.124. 〈hal-00785003v2〉

Partager

Métriques

Consultations de la notice

446

Téléchargements de fichiers

166