Fractional multiplicative processes

Résumé : Les mesures sur [0, 1] auto-similaires en loi sont limites de processus multiplicatifs construits à partir de poids aléatoires distribués sur les sous-intervalles b-adiques de [0, 1]. Ces poids sont i.i.d., positifs et d'espérance 1/b. Il est naturel d'étendre la construction à des poids prenant des valeurs négatives. On obtient alors des martingales à valeurs dans les fonctions continues sur [0, 1]. Nous nous intéressons, pour H∈(0, 1), à la martingale (Bn)n≥1 de ce type construite en prenant des poids à valeurs dans {−b−H, b−H}, afin que Bn converge presque sûrement uniformément vers une fonction B auto-similaire en loi dont la régularité Höldérienne et les propriétés fractales soient comparables à celles du mouvement brownien fractionnaire d'exposant H. C'est bien le cas lorsque H∈(1/2, 1), et la construction fournit alors un nouvel exemple de loi invariante par moyenne pondérée aléatoire. Cette loi satisfait la même équation fonctionnelle qu'une loi stable symétrique usuelle d'indice 1/H. Si H∈(0, 1/2], Bn diverge presque sûrement, mais il existe une normalisation naturelle par une suite (an)n≥1 telle que la marche aléatoire corrélée normalisée Bn/an converge en loi vers la restriction à [0, 1] du mouvement brownien standard. Des théorèmes limites sont également associés au cas H>1/2.
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Annales de l'Institut Henri Poincaré (B) Probabilités et Statistiques, Institute Henri Poincaré, 2009, 45 (4), pp.1116-1129. 〈10.1214/08-AIHP198〉
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Soumis le : jeudi 21 février 2013 - 16:16:23
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Julien Barral, Benoît Mandelbrot. Fractional multiplicative processes. Annales de l'Institut Henri Poincaré (B) Probabilités et Statistiques, Institute Henri Poincaré, 2009, 45 (4), pp.1116-1129. 〈10.1214/08-AIHP198〉. 〈hal-00793123〉

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