Diffusion-based models for financial markets without martingale measures
Résumé
In this paper we consider a general class of diffusion-based models and show that, even in the absence of an Equivalent Local Martingale Measure, the financial market may still be viable, in the sense that strong forms of arbitrage are excluded and portfolio optimisation problems can be meaningfully solved. Relying partly on the recent literature, we provide necessary and sufficient conditions for market viability in terms of the market price of risk process and martingale deflators. Regardless of the existence of a martingale measure, we show that the financial market may still be complete and contingent claims can be valued under the original (real-world) probability measure, provided we use as numeraire the Growth-Optimal Portfolio.
On considère une classe générale de modèles de diffusion pour un marché financier. On démontre qu'il peut être viable, au sens d'absence d'opportunité forte d'arbitrage et d'existence d'une solution au problème d'optimisation de portefeuille, même s'il n'existe aucune mesure martingale. On donne des conditions nécessaires et suffisantes pour la viabilité du marché en fonction des processus de prix de marché du risque et des déflateurs martingales en se basant en partie sur la littérature récente. On démontre que le marché financier peut être complet et que les actifs contingents peuvent être évalués par rapport à la mesure de probabilité originale, en utilisant le portefeuille à croissance optimale comme numéraire, même s'il n'existe aucune mesure martingale.