Abstract : We propose a procedure for selecting basis function orientation to improve the efficiency of solution methodologies that employ local plane-wave approximations. The proposed adaptive approach consists of a local wave tracking strategy. Each plane-wave basis set, within considered elements of the mesh partition, is individually or collectively rotated to best align one function of the set with the local propagation direction of the field. Systematic determination of the direction of the field inside the computational domain is formulated as a minimization problem. As the resultant system is nonlinear with respect to the directions of propagation, the Newton method is employed with exact characterization of the Jacobian and Hessian. To illustrate the salient features and evaluate the performance of the proposed wave tracking approach, we present error estimates as well as numerical results obtained by incorporating the procedure into a prototypical plane-wave based approach, the least-squares method (LSM) developed by Monk et al.. The numerical results obtained for the case of a two-dimensional rigid scattering problem indicate that (a) convergence was achievable to a prescribed level of accuracy, even upon initial application of the tracking wave strategy outside the pre-asymptotic convergence region, and (b) the proposed approach reduced the size of the resulting system by up to two orders of magnitude, depending on the frequency range, with respect to the size of the standard LSM system.
Résumé : Nous proposons une technique permettant d'optimiser l'orientation des fonctions de base pour améliorer la précision des méthodes basées sur des approximations par ondes planes. Cette approche repose une stratégie adaptative locale des ondes planes et consiste à appliquer des rotations aux bases d'ondes planes, individuellement ou par groupe d'élément d'une même partition, de manière à les aligner au mieux avec la direction de propagation du champ d'onde. La détermination de ces directions de propagation est effectué en résolvant un problème de minimisation. Le système qui en découle étant non linéaire par rapport aux directions de propagations, nous utilisons la méthode de Newton en calculant le Jacobien et le Hessien de manière exacte. Nous présentons des estimations d'erreur et des résultats numériques permettant d'illustrer les principales propriétés et d'évaluer les performances de la méthode. Pour cela, nous avons mis en \oe uvre la stratégie adaptative dans un code numérique basé sur approche par ondes planes classiques, la méthode des moindres carrés (Least Squares Method, LSM), développée par Monk et al.. Les résultats numériques obtenus pour le problème de diffraction en dimension deux mettent en évidence que la méthode (a) converge pour un niveu de précision donné, même si la stratégie adaptative est utilisée en dehors de la région de convergence préasymptotique ; et (b) la méthode réduit la taille du système linéaire jusqu'à deux ordres de magnitude suivant la fréquence choisie par rapport à la LSM classique
