Delaunay triangulations and cycles on closed hyperbolic surfaces

Mikhail Bogdanov 1 Monique Teillaud 1
1 GEOMETRICA - Geometric computing
CRISAM - Inria Sophia Antipolis - Méditerranée , Inria Saclay - Ile de France
Résumé : Ce travail est motivé par les applications des triangulations de Delaunay périodiques dans le modèle du disque de Poincaré, modèle conforme du plan hyperbolique H^2. Une triangulation périodique est définie par un ensemble infini de points, image d'un ensemble fini par un groupe discret (non commutatif) G engendré par des translations, et tel que l'aire hyperbolique d'un domaine de Dirichlet soit finie (c'est-à-dire un groups fuchsien cocompact agissant sur H^2 sans point fixe). Nous considérons la projection d'une telle triangulation de Delaunay sur la surface hyperbolique fermée orientable M = H^2/G. Le graphe des arêtes de cette projection peut avoir des cycles de longueur un ou deux. Nous démontrons qu'il existe toujours un revêtement fini de M dans lequel il n'y a pas de cycle de longueur <= 2. Nous nous concentrons ensuite sur le groupe définissant la surface de Bolza (homéomorphe à un tore à deux anses), et nous construisons explicitement une suite de sous-groupes d'indice fini nous permettant d'exhiber un revêtement de la surface de Bolza dans lequel, quel que soit l'ensemble de points, il n'y a aucun cycle de longueur un, et un autre revêtement dans lequel il n'y a aucun cycle de longueur deux. Nous présentons aussi un petit ensemble de points tel que la projection de la triangulation de Delaunay de tout sur-ensemble sur la surface de Bolza n'a aucun cycle de longueur <= 2. Ce travail utilise des démonstrations mathématiques, des constructions algorithmiques, et de la programmation.
Type de document :
Rapport
[Research Report] RR-8434, INRIA. 2013
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https://hal.inria.fr/hal-00921157
Contributeur : Monique Teillaud <>
Soumis le : dimanche 13 avril 2014 - 16:20:49
Dernière modification le : samedi 27 janvier 2018 - 01:31:35
Document(s) archivé(s) le : dimanche 13 juillet 2014 - 10:40:51

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  • HAL Id : hal-00921157, version 2

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Mikhail Bogdanov, Monique Teillaud. Delaunay triangulations and cycles on closed hyperbolic surfaces. [Research Report] RR-8434, INRIA. 2013. 〈hal-00921157v2〉

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