Infinite log-concavity: developments and conjectures

Résumé : Étant donné une suite $(a_k)=a_0,a_1,a_2,\ldots$ de nombres réels, on définit une nouvelle suite $\mathcal{L}(a_k)=(b_k)$ où $b_k=a_k^2-a_{k-1}a_{k+1}$. Alors $(a_k)$ est log-concave si et seulement si $(b_k)$ est une suite non négative. On dit que $(a_k)$ est $\textit{infiniment log-concave}$ si $\mathcal{L}^i(a_k)$ est non négative pour tout $i \geq 1$. Boros et Moll ont conjecturé que les lignes du triangle de Pascal sont infiniment log-concave. Utilisant un ordinateur et une version plus forte de log-concavité, on vérifie leur conjecture pour la $n$ième ligne, pour tout $n \leq 1450$. On peut aussi utiliser nos méthodes pour donner une preuve simple d'un résultat récent de Uminsky et Yeats à propos des régions de log-concavité infini. Reliées à ces idées, on examine des questions à propos des colonnes du triangle de Pascal, des $q$-analogues, des fonctions symétriques, des polynômes avec racines réelles, et des matrices de Toeplitz. De plus, on offre plusieurs conjectures.
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Communication dans un congrès
Krattenthaler, Christian and Strehl, Volker and Kauers, Manuel. 21st International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2009), 2009, Hagenberg, Austria. Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, DMTCS Proceedings vol. AK, 21st International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2009), pp.635-646, 2009, DMTCS Proceedings
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Peter R. W. Mcnamara, Bruce E. Sagan. Infinite log-concavity: developments and conjectures. Krattenthaler, Christian and Strehl, Volker and Kauers, Manuel. 21st International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2009), 2009, Hagenberg, Austria. Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, DMTCS Proceedings vol. AK, 21st International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2009), pp.635-646, 2009, DMTCS Proceedings. 〈hal-01185370〉

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