Coefficients of algebraic functions: formulae and asymptotics

Résumé : Cet article a pour héros les coefficients des fonctions algébriques. Après avoir rappelé le fait trop peu connu que ces coefficients $f_n$ admettent toujours une forme close, nous étudions leur asymptotique $f_n \sim C A^n n^{\alpha}$. Lorsque la fonction algébrique est la série génératrice d'une grammaire non-contextuelle, nous résolvons une vieille conjecture du folklore : les exposants critiques $\alpha$ ne peuvent pas être $^1/_3$ ou $^{-5}/_2$ et sont en fait restreints à un sous-ensemble des nombres dyadiques. Nous étendons ce que Philippe Flajolet appelait le théorème de Drmota-Lalley-Woods (qui affirme que $\alpha=^{-3}/_2$ dès lors qu'un "graphe de dépendance" associé au système algébrique est fortement connexe) : nous caractérisons complètement les exposants critiques dans le cas non fortement connexe. Un corolaire immédiat est que certaines marches et cartes planaires ne peuvent pas être engendrées par une grammaire non-contextuelle non ambigüe (i. e., leur série génératrice n'est pas $\mathbb{N}-algébrique). Nous terminons par la discussion de diverses extensions de nos résultats (lois limites, systèmes d'équations de degré infini, aspects algorithmiques).
Type de document :
Communication dans un congrès
Alain Goupil and Gilles Schaeffer. 25th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2013), 2013, Paris, France. Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, DMTCS Proceedings vol. AS, 25th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2013), pp.1065-1076, 2013, DMTCS Proceedings
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Contributeur : Alain Monteil <>
Soumis le : mardi 17 novembre 2015 - 10:19:51
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Cyril Banderier, Michael Drmota. Coefficients of algebraic functions: formulae and asymptotics. Alain Goupil and Gilles Schaeffer. 25th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2013), 2013, Paris, France. Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, DMTCS Proceedings vol. AS, 25th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2013), pp.1065-1076, 2013, DMTCS Proceedings. 〈hal-01229681〉

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