Abstract : Let $X:=X_n\cup\{(0,0),(1,0)\}$, where $X_n$ is a planar Poisson point process of intensity $n$. We prove that the distance between the expected length of the shortest path between $(0,0)$ and $(1,0)$ in the Delaunay triangulation associated with $X$ belongs to $[1+2.47\cdot 10^{-11}, 1.182]$ when the intensity of $X_n$ goes to infinity.
Experimental values indicate that the correct value is about 1.04.
We also prove that the expected number of Delaunay edges crossed by the line segment $[(0,0),(1,0)]$ is $\frac{64}{3\pi^2}\sqrt{n}+O(1)\simeq2.16\sqrt{n}$.
Simulation code and Maple sheet are available with the research report.
Résumé : Soit $X:=X_n\cup\{(0,0),(1,0)\}$, où $X_n$ est un processus ponctuel de Poisson planaire d'intensité $n$. Nous montrons que la longueur du plus court chemin entre $(0,0)$ et $(1,0)$ dans la triangulation de Delaunay de $X$ est dans l'intervalle $[1+2.47\cdot 10^{-11}, 1.182]$ quand $n$ tends vers l'infini.
Les résultats expérimentaux indiquent que la valeur correcte est 1.04.
Nous montrons aussi que l'espérance du nombre d'arêtes de Delaunay coupées par le segment $[(0,0),(1,0)]$ est $\frac{64}{3\pi^2}\sqrt{n}+O(1)\simeq2.16\sqrt{n}$.
Le code pour les simulations et la feuille de calcul Maple sont disponibles avce ce rapport de recherche.
