Nonlinear Unknown Input Observability: The Analytic Solution in the case of a Single Unknown Input
Observabilité non linéaire avec entrées inconnues: Solution Analytique dans le cas d’une seule entrée inconnue
Résumé
This work presents the analytic solution of a fundamental open problem in the framework of nonlinear observability, which is the unknown input observability problem (UIO problem). The solution here provided holds in the case of a single unknown input.
The first part of the work presents this analytic solution, namely the analytic criterion that allows us to obtain the observability of a nonlinear system in presence of a single unknown input and multiple known inputs.
As for the observability rank condition, the proposed analytic criterion is based on the computation of the observable codistribution. Similarly to the case of only known inputs, the observable codistribution is obtained by recursively computing the Lie derivatives of the outputs along the vector fields that characterize the dynamics. However, in correspondence of the unknown input, the corresponding vector field must be suitably rescaled. Additionally, the Lie derivatives of the outputs must also be computed along a new set of vector fields that are obtained by recursively performing suitable Lie bracketing of the vector fields that define the dynamics. In practice, the entire observable codistribution is obtained by a very simple recursive algorithm. Finally, it is shown that the recursive algorithm converges in a finite number of steps and the criterion to establish that the convergence has been reached is provided. The proposed analytic extension of the observability rank condition is illustrated by checking the weak local observability of several nonlinear systems driven by multiple known inputs and a single unknown input. For these systems, extensive simulations are also provided. It is shown that, a simple estimator based on an Extended Kalman Filter, provides results that agree with what we could expect from the observability analysis.
Finally, it is shown that the analytic criterion introduced in this work is not only a key analytical tool to automatically obtain the state observability but it can be also a fundamental tool to design an appropriate estimator.
Ce travail présente la solution analytique d’un problème ouvert fondamental dans
le cadre de l’observabilité non linéaire, qui est le problème de l’observabilité non linéaire quand
une partie (voire la totalité) des entrées du système est inconnu. La solution ici fournie est valable
dans le cas d’une seule entrée inconnue. La première partie du travail présente cette solution
analytique, c’est à dire le critère analytique qui permet d’obtenir l’observabilité d’un système
non linéaire en présence d’une seule entrée inconnue et de multiples entrées connues. Pareil que
pour la solution dans le cas sans entrées inconnues, le critère analytique proposé est basé sur
le calcul de la codistribution observable. De même pour le cas des entrées connues seulement,
la codistribution observable est obtenue en calculant de façon récursive les dérivées de Lie des
sorties du système le long des champs vectoriels qui caractérisent la dynamique. Cependant,
en correspondance de l’entrée inconnue, le champ vectoriel correspondant doit être réétalonné
de manière appropriée. De plus, les dérivées de Lie des sorties du système doivent également
être calculées le long d’un nouvel ensemble de champs vectoriels qui sont obtenus en effectuant
récursivement un bracketing de Lie approprié des champs vectoriels qui définissent la dynamique.
En pratique, la totalité de la codistribution observable est obtenue par un algorithme récursif
très simple. Enfin, il est montré que l’algorithme récursif converge en un nombre fini d’étapes
et que le critère pour établir que la convergence a été atteinte est fourni. La solution analytique
proposée est illustrée par l’étude de l’observabilité de plusieurs systèmes non linéaires pilotés par
plusieurs entrées connues et une seule entrée inconnue. Pour ces systèmes, des simulations sont
également fournies. Il est montré qu’un estimateur simple basé sur un filtre de Kalman étendu
fournit des résultats qui concordent avec ce que l’on pourrait attendre de l’analyse d’observabilité.
Enfin, il est montré que le critère analytique introduit dans ce travail n’est pas seulement un
outil analytique clé pour obtenir automatiquement l’observabilité de l’état mais il peut aussi être
un outil fondamental pour concevoir un estimateur approprié.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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