Equivalent $R$-linear and $C$-linear systems of equations
Équivalence entre systèmes d'équations $R$-linéaire et $C$-linéaire
Résumé
This paper addresses two elementary subjects in linear algebra, intertwining concepts in real and complex numbers, which could be proposed as homework assignments to students learning complex linear algebra. First, given an $R$-linear system of equations with data in complex numbers, necessary and sufficient conditions are given ensuring that there exists a C-linear system of equations of the same size that has the same solution set whatever is the constant term of the original system. The motivation for searching for such an equivalence may be theoretical or based on a numerical efficiency wish. This first result rests on the second contribution of the paper, which claims that, being given an $R$-injective matrix $M\in\mathbb{C}^{m\times(2n)}$ - such a matrix must have more rows than half the number of its columns - one can find a matrix $H\in\mathbb{C}^{n\times m}$ such that $HM$ is also R-injective.
Cet article traite de deux sujets élémentaires d'algèbre linéaire, entrelaçant des concepts d'analyses réelle et complexe, qui pourraient très bien être proposés en projet de réflexion à des étudiants apprenant l'algèbre linéaire complexe. En premier lieu, étant donné un système d'équations $R$-linéaire, exprimé en nombres complexes, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour que l'on puisse trouver un système d'équations $C$-linéaire de même dimension, qui ait le même ensemble de solutions quel que soit le terme constant du système original. La motivation de la recherche d'une telle équivalence peut être théorique ou fondée sur un souhait d'efficacité numérique. Ce premier résultat repose sur la seconde contribution de cet article, qui affirme que, étant donné une matrice R-injective $M\in\mathbb{C}^{m\times(2n)}$ - une telle matrice doit avoir plus de lignes que la moitié de son nombre de colonnes - on peut trouver une matrice $H\in\mathbb{C}^{n\times m}$ telle que $HM$ soit R-injective.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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