. Démonstration and . Conformémentconformément, Conformémentà l'´ enoncé de la proposition, notons m le degré du polynôme de Ore Ann(?)

P. Le-polynôme and . Lin, T ) est séparable. En effet, son polynôme dérivé P lin (T ) est constant

?. Soient and =. ?-p-v, le corps des constantes pour ? v . Soit L une extension séparable de K v dans laquelle le polynôme P lin (T ) se scinde. Formons le diagramme suivant v sont linéairement disjointesétantdisjointesétant donné que lapremì ere est purement inséparable alors que la seconde est séparable

[. De-plus, L. Kv, K. Munissons, L. Kv, ?. De-la-dérivation-?-=-?-v et al., Du fait que P lin est scindéscindé`scindéà racines simples dans L, on déduit que ? est diagonalisable Autrement dit, si V ? L désigne l'ensemble des racines de P lin et si, pour ? ? V , on pose E ? = ker(? ? ?), on a la décomposition : K ? Kv L = ??V E ? . (48) Remarquons en outre que E 0 = ker ? = L. Par ailleurs, la structureparticulì ere du polynôme P lin montre que V est un sous-F p -espace vectoriel de L. Soit ? ? V . Fixons desélémentsdeséléments non nuls x ? E ? et y ? E ?? . Il est facile de vérifier que la multiplication par x définit une application L-linéaire m x : L ? E ? et que, de la mêmemanì ere, la multiplication par y définit une application L-linéaire m y : E ? ? L. La composée m y ? m x : L ? L est, bien sûr

. Ceci-démontre-que-e-?-est-un, Comme ceci est vrai pour tout ?, on déduit de la décomposition (48) que

A. Remarque, Un examen attentif de la démonstration précédente montre que Ann(?) lin est le polynôme minimal de la dérivation ?, vue comme endomorphisme F -linéaire de K. En particulier

G. Azumaya, On maximally central algebras, Nagoya Math, J, vol.2, pp.119-150, 1951.
DOI : 10.1017/s0027763000010114

S. Basu and R. Pollack, Marie-Françoise Roy Algorithms in Real Algebraic Geometry, 2008.
DOI : 10.1007/978-3-662-05355-3

M. Berkovich and G. Tsirulik, Differential resultants and some of their applications, Uravneniya, vol.22, pp.750-757, 1986.

A. Blanchard, Les corps non commutatifs, Presses Universitaires de France (PUF)

M. Chardin, Differential resultants and subresultants, Lecture Notes in Computer Science, vol.529, pp.180-189, 1991.
DOI : 10.1007/3-540-54458-5_62
URL : ftp://ftp.medicis.polytechnique.fr/pub/publications/chardin/DiffSub.ps

P. Cohn, Skew field constructions

G. Collins, Subresultants and Reduced Polynomial Remainder Sequences, Journal of the ACM, vol.14, issue.1, pp.708-712, 1967.
DOI : 10.1145/321371.321381
URL : http://www-inst.cs.berkeley.edu/~cs282/sp02/readings/collins.pdf

J. Milne, Class field theory

E. Gabidulin, Theory of codes with maximum rank distance, Problemy Peredachi Informatsii, vol.21, issue.1, pp.3-16, 1985.

P. Gille and T. Szamuely, Central simple algebras and Galois cohomology, Cambridge Studies in Advanced Mathematics
DOI : 10.1017/9781316661277

A. Grothendieck and . Le-groupe-de-brauer, Algèbres d'Azumaya et interprétations diverses, pp.199-219, 1995.

S. Ikehata, Azumaya algebras and skew polynomial rings, Math. J. Okayama Univ, vol.23, issue.1, pp.19-32, 1981.

S. Ikehata, Azumaya algebras and skew polynomial rings, II, Math. J. Okayama Univ, vol.26, pp.49-57, 1984.

N. Jacobson, Non-Commutative Polynomials and Cyclic Algebras, The Annals of Mathematics, vol.35, issue.2, pp.197-208, 1934.
DOI : 10.2307/1968424

N. Jacobson, Pseudo-Linear Transformations, The Annals of Mathematics, vol.38, issue.2, pp.484-506, 1937.
DOI : 10.2307/1968565
URL : https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1076685/pdf

N. Jacobson, Abstract derivation and Lie algebras, Trans. AMS, vol.43, pp.206-224, 1937.
DOI : 10.1007/978-1-4612-3692-4_11

N. Jacobson, An Extension of Galois Theory to Non-Normal and Non-Separable Fields, American Journal of Mathematics, vol.66, issue.1, pp.1-29, 1944.
DOI : 10.2307/2371892

N. Jacobson, Galois Theory of Purely Inseparable Fields of Exponent One, American Journal of Mathematics, vol.66, issue.4, pp.645-648, 1944.
DOI : 10.2307/2371772

N. Jacobson, Finite-dimensional division algebras over fields, 1996.
DOI : 10.1007/978-3-642-02429-0

Z. Li, A subresultant theory for linear differential, linear difference and Ore polynomials with applications, 1996.
DOI : 10.1145/281508.281594

Z. Li, A subresultant theory for Ore polynomials with applications, Proceedings of the 1998 international symposium on Symbolic and algebraic computation , ISSAC '98, p.98
DOI : 10.1145/281508.281594

Ø. Ore, Theory of Non-Commutative Polynomials, The Annals of Mathematics, vol.34, issue.3, pp.480-508, 1933.
DOI : 10.2307/1968173

A. Weil, Basic number theory, Classics in Mathematics, 1995.
DOI : 10.1007/978-3-642-61945-8

F. Winkler, Polynomial Algorithms in Computer Algebra, 1996.
DOI : 10.1007/bf01191382