About the eigenvalues of Wishart processes
À propos des valeurs propres des processus de Wishart
Résumé
This paper is devoted to the study of the eigenvalues of the Wishart process which are the analog of the Dyson Brownian Motion for covariance matrices. Such processes were in particular studied by Bru. The mean field convergence of the empirical measure of these eigenvalues was proved Malecki andPerez. In this paper, we provide a new approach to the mean field convergence problem using tools from the free rectangular convolution theory developed by Benaych-Georges, which in particular allows to compute explicitly the limit measure valued flow. We highlight the link with the integro-differential equation related to the mean field limit and its translation into a complex Burgers partial differential equation.
Ce papier s'attache à étudier les valeurs propres des processus de Wishart qui sont les analogues du Mouvement Brownien de Dyson pour les matrices de covariance. Ces processus ont en particulier été étudiés par Bru. La convergence en champ moyen de la mesure empirique de ces valeurs propres à été prouvée par Malecki et Perez. Dans ce papier, nous apportons une nouvelle approche du problème de la limite de champ moyen utilisant des outils provenant de la théorie de la convolution libre rectangulaire développée par Benaych-Georges, ce qui en particulier permet d'exprimer explicitement le flot de measures limite. Le lien avec l'équation integro-différentielle vérifiée par la limite de champ moyen est mis en valeur, ainsi que sa traduction en equation de Burgers complexe.