GMRES in variable accuracy: a case study in low rank tensor linear systems
Résumé
In this talk, we will consider the numerical solution of linear systems where the accuracy to perform the arithmetic computation is decoupled from the accuracy to represent the data. When the data representation of vectors induces componentwise perturbations, the backward stability of MGS-GMRES still applies and we will illustrate this with some simple numerical experiments. When the data representation induces normwise perturbations, the existing theoretical backward stability no longer applies as is, but numerical experiments reveal that it still occurs. We illustrate such a numerical behaviour in the context of the solution of linear systems defined in tensor spaces, where normwise compression techniques must be used to tackle the curse of dimensionality. More precisely, we will consider the Tensor Train formalism. We will show that such a formalism enables us to solve inear systems with various left and right-hand sides sides at once (e.g., paramter dependent linear operator or parametric right-hand side). We will give bounds relating the backward errors of the tensor solution and the solutions of the individual problems.
Dans cet exposé, nous considérerons la résolution numérique de systèmes linéaires où la précision du calcul arithmétique est découplée de la précision de la représentation des données. Lorsque la représentation des données des vecteurs induit des perturbations dans le sens des composantes, la stabilité à rebours de MGS-GMRES s'applique toujours et nous l'illustrerons par quelques expériences numériques simples. Lorsque la représentation des données induit des perturbations dans le sens de la norme, la stabilité rétrograde théorique existante ne s'applique plus telle quelle, mais des expériences numériques révèlent qu'elle se produit toujours. Nous illustrons un tel comportement numérique dans le contexte de la résolution de systèmes linéaires définis dans des espaces tensoriels, où des techniques de compression normative doivent être utilisées pour lutter contre la malédiction de la dimensionnalité. Plus précisément, nous considérerons le formalisme du Train Tensor. Nous montrerons qu'un tel formalisme nous permet de résoudre des systèmes innaires avec différents côtés gauche et droit à la fois (par exemple, opérateur linéaire dépendant d'un paramètre ou côté droit paramétrique). Nous donnerons des bornes reliant les erreurs de recul de la solution tensorielle et les solutions des problèmes individuels.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)