E. Soit and . K-une-courbe-elliptique, On pose E

A. and B. Qu, un point P 0 = (x 0 : y 0 : 1) ? E(Q) d'ordre inni de telle sorte que E(A, B) et P 0 se réduisent modulo N

. Démonstration and . Voir, pour le lien entre g et la nature de la courbe

. Suyama-11, Z. 2. La-courbe-de-paramètres-est, P. *. On-constate-que-si-n-p-*-p-+n-m-*-m-donne-une-valeur-de-?, and . ??, Or ? et ??/5 donnent le même j-invariant

. Gal, Donc ? = 10 "aime" avoir les points de E[12] avec leur coordonnée x dans F p , sans imposer rien sur la coordonnée y. On remarque entre autres que le fait que le groupe Gal(P 12 ) soit plus simple se manif este aussi dans le motif de factorisation de P 12 sur Q. Ainsi, pour une courbe quelconque de Suyama, le motif de factorisation sur Q est {(1, 5) 1)}. Par contre pour ? = 10 un (ii) On choisit un élément a · e 1 + b · e 2 d'ordre r. En tout (2r ? r )r choix. On choisit l'image de b · e 1 + a · e 2 comme un point d'ordre r, qui n'est pas sur Ze 1 et qui n, 12 et E = E(? = 10) on a un Gal(P 12 ) spécial sans pour autant changer Gal

. Démonstration, C'est la conséquence directe de la proposition 3, du théorème 8 et de la proposition ci-dessus

. Projet, Pour nir on xe une courbe elliptique E et propose la démarche suivante : 1. On suppose le théorème 8 vrai pour tout ? premier tel que B 1 + 1 ? ? ?

A. Soit, E. Une-courbe-elliptique-sur-un-corps, and K. , On munit E(A, B) d'une loi de composition P 1 (X 1