Construction of rational surfaces yielding good codes
Résumé
In the present article, we consider Algebraic Geometry codes on some rational surfaces. The estimate of the minimum distance is translated into a point counting problem on plane curves. This problem is solved by applying the upper bound "à la Weil" of Aubry and Perret together with the bound of Homma and Kim for plane curves. The parameters of several codes from rational surfaces are computed. Among them, the codes defined by the evaluation of forms of degree 3 on an elliptic quadric are studied. As far as we know, such codes have never been treated before. Two other rational surfaces are studied and very good codes are found on them. In particular, a [57,12,34] code over F_7 and a [91,18,53] code over F_9 are discovered. These codes beat the best known codes up to now.
Dans cet article, on étudie les codes géométriques construits à partir de certaines surfaces. L'estimation de la distance minimale se traduit sous la forme d'un problème de comptage de points sur des courbes planes. Ce problème est résolu en appliquant la borne supérieure "à la Weil" d'Aubry et Perret ainsi que la borne d'Homma et Kim pour les courbes planes. Les paramètres de certains codes construits à partir de surfaces rationnelles sont calculés. Parmi eux les codes obtenus par évaluation de formes de degré 3 sur une quadrique elliptique sont étudiés. A notre connaissance, ces codes n'ont jamais été étudiés jusqu'à aujourd'hui. Deux autres surfaces rationnelles sont étudiées et produisent de très bons codes. En particulier, un code [57,12,34] sur F_7 et un [91,18,53] sur F_9 ont été découverts. Ces codes battent les meilleurs codes connus jusque là.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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