Robust stochastic control and equivalent martingale measures
Résumé
We study a class of robust, or worst case scenario, optimal control problems for jump diffusions. The scenario is represented by a probability measure equivalent to the initial probability law. We show that if there exists a control that annihilates the noise coefficients in the state equation and a scenario which is an equivalent martingale measure for a specific process which is related to the control-derivative of the state process, then this control and this probability measure are optimal. We apply the result to the problem of consumption and portfolio optimization under model uncertainty in a financial market, where the price process S(t) of the risky asset is modeled as a geometric Itô-Lévy process. In this case the optimal scenario is an equivalent local martingale measure of S(t). We solve this problem explicitly in the case of logarithmic utility functions.
On étudie une classe de contrôle optimal robuste - ou pire des cas - pour des processus de diffusions avec sauts. Le scénario est représenté par une mesure de probabilité équivalente à la probabilité initiale. On montre que s'il existe un contrôle qui annule les coefficients aléatoires dans l'équation d'état et un scénario qui est une mesure martingale équivalente pour un certain processus associé à la dérivée de l'état par rapport au contrôle, alors ce contrôle et cette mesure de probabilité sont optimaux. On applique ce résultat à un problème de consommation et portefeuille optimal avec incertitude de modèle dans un modèle de Marché de Lévy. Dans ce cas le scénario optimal est une mesure martingale locale équivalente du processus de prix. Le problème est résolu explicitement dans le cas de fonctions d'utilité logarithmiques.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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