De nouvelles "solutions" au problème du Shape from Shading

Emmanuel Prados 1 Fabio Camilli 2 Olivier Faugeras 1
1 ODYSSEE - Computer and biological vision
DI-ENS - Département d'informatique de l'École normale supérieure, CRISAM - Inria Sophia Antipolis - Méditerranée , ENS Paris - École normale supérieure - Paris, Inria Paris-Rocquencourt, ENPC - École des Ponts ParisTech
Résumé : Notre but est d'apporter de nouvelles solutions (numériques et théoriques) au problème du Shape from Shading. Ce problème consiste à calculer la forme tri-dimensionnelle d'une surface à partir de la variation d'intensité (ombrage) d'une seule image noir et blanc de cette surface. La modélisation de ce problème aboutit à des EDP mal posées : présence de singularités et conditions aux limites inconnues. Afin de caractériser une solution pertinente à notre problème, nous proposons une \nouvelle" notion de solutions de viscosité (notée \SDVS"). Cette notion permet de gérer, naturellement et sans distinction, des conditions de Dirichlet et des contraintes d'état, aux points singuliers comme au bord du domaine : le choix des conditions se faisant en fonction des données (connaissance des conditions aux limites). Aussi, nous prouvons l'existence, l'unicité et la stabilité de ces nouvelles solutions. Par ailleurs, la notion de SDVS généralise et unifie les notions de solutions de viscosité continues [1], discontinues [2] et singulières [3, 4], selon la présence de singularités, la connaissance des conditions aux limites et la vérification des conditions de compatibilité. Nous proposons de plus une méthode numérique permettant de calculer la SDVS. Cette méthode nécessite trois étapes : 1) une régularisation de l'EDP pour éliminer les singularités (preuve de convergence des solutions de l'EDP régularisée vers la SDVS) ; 2) une approximation de l'EDP régularisée par un schéma d'approximation (preuve de convergence des solutions du schéma vers la solution de l'EDP régularisée) ; 3) la description d'un algorithme numérique (preuve de convergence des solutions calculées vers les solutions des schémas d'approximation). Enfin, nous démontrons aussi expérimentalement la pertinence de ces nouveaux outils en l'appliquant avec succès à une nouvelle EDP provenant d'une modélisation plus réaliste du problème. Pour plus de détails, le lecteur peut se référer aux articles [5, 6, 7].
Type de document :
Communication dans un congrès
CANUM 2004 - 36th French Congress of Numerical Analysis, May 2004, Obernai, France. 2004
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Soumis le : mardi 3 mai 2011 - 09:29:47
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Citation

Emmanuel Prados, Fabio Camilli, Olivier Faugeras. De nouvelles "solutions" au problème du Shape from Shading. CANUM 2004 - 36th French Congress of Numerical Analysis, May 2004, Obernai, France. 2004. 〈inria-00590176〉

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