Triangulating Smooth Submanifolds with Light Scaffolding - Archive ouverte HAL Access content directly
Reports (Research Report) Year : 2011

Triangulating Smooth Submanifolds with Light Scaffolding

(1) , (1)
1
Jean-Daniel Boissonnat
  • Function : Author
  • PersonId : 830857
Arijit Ghosh
  • Function : Author
  • PersonId : 865421

Abstract

We propose an algorithm to sample and mesh a k-submanifold M of positive reach embedded in Rd. The algorithm first constructs a crude sample of M. It then refines the sample according to a prescribed parameter ε, and builds a mesh that approximates M. Differently from most algorithms that have been developped for meshing surfaces of R^3, the refinement phase does not rely on a subdivision of Rd (such as a grid or a triangulation of the sample points) since the size of such scaffoldings depends exponentially on the ambient dimension d. Instead, we only compute local stars consisting of k-dimensional simplices around each sample point. By refining the sample, we can ensure that all stars become coherent leading to a k-dimensional triangulated manifold Mˆ . The algorithm uses only simple numerical operations. We show that the size of the sample is O(ε^(−k)) and that Mˆ is a good triangulation of M. More specifically, we show that M and Mˆ are isotopic, that their Hausdorff distance is O(ε^2) and that the maximum angle between their tangent bundles is O(ε). The asymptotic complexity of the algorithm is T (ε) = O(ε^(−k^2 −k) ) (for fixed M, d and k).
On propose un algorithme pour échantillonner et mailler une sous- variété M de dimension k plongée dans Rd. Après avoir construit un échantillon grossier, l'algorithme raffine l'échantillon et le maillage selon un paramètre ε. L'algorithme ne construit pas de subdivision de Rd mais seulement des triangula- tions locales (stars) de dimension k autour de chaque point de l'échantillon. On montre qu'en raffinant l'échantillon, on peut rendre toutes les stars cohérentes et ainsi obtenir une variété triangulée Mˆ qui approche M. L'algorithme n'utilise que des opérations numériques simples, la taille de l'échantillon produit est O(ε^(−k)). On montre que M et Mˆ ont le même type topologique, que leur dis- tance de Hausdorff est O(ε^2) et que l'angle entre leurs espaces tangents est O(ε). La complexité asymptotique de l'algorithm est T (ε) = O(ε^(−k^2 −k) ) (pour M, d k fixés).
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Dates and versions

inria-00604004 , version 1 (27-06-2011)

Identifiers

  • HAL Id : inria-00604004 , version 1

Cite

Jean-Daniel Boissonnat, Arijit Ghosh. Triangulating Smooth Submanifolds with Light Scaffolding. [Research Report] RR-7660, INRIA. 2011. ⟨inria-00604004⟩
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