Approximations for Multidimensional Discrete Scan Statistics
Approximations pour la statistique de scan discrète multi-dimensionnelle
Résumé
In this thesis, we derive accurate approximations and error bounds for the probability distribution of the multidimensional discrete scan statistics.
We start by improving some existing results concerning the estimation of the distribution of extremes of 1-dependent stationary sequences of random variables, both in terms of range of applicability and sharpness of the error bound. These estimates play the key role in the approximation process of the multidimensional discrete scan statistics distribution.
The presented methodology has two main advantages over the existing ones found in the literature: first, beside the approximation formula, an error bound is also established and second, the approximation does not depend on the common distribution of the observations. For the underlying random field under which the scan process is evaluated, we consider two models: the classical model, of independent and identically distributed observations and a dependent framework, where the observations are generated by a block-factor.
In the i.i.d. case, in order to illustrate the accuracy of our results, we consider the particular settings of one, two and three dimensions. A simulation study is conducted where we compare our estimate with other approximations and inequalities derived in the literature. The numerical values are efficiently obtained via an importance sampling algorithm discussed in detail in the text.
Finally, we consider a block-factor model for the underlying random field, which consists of dependent data and we show how to extend the approximation methodology to this case. Several examples in one and two dimensions are investigated. The numerical applications accompanying these examples show the accuracy of our approximation.
All the methods presented in this thesis leaded to a Graphical User Interface (GUI) software, implemented in Matlab®.
Dans cette thèse nous obtenons des approximations et les erreurs associées pour la distribution de la statistique de scan discrète multi-dimensionnelle. La statistique de scan est vue comme le maximum d'une suite de variables aléatoires stationnaires 1-dépendante.
Dans ce cadre, nous présentons un nouveau résultat pour l'approximation de la distribution de l'extremum d'une suite de variables aléatoire stationnaire 1-dépendante, avec des conditions d'application plus larges et des erreurs d'approximations plus petites par rapport aux résultats existants en littérature. Ce résultat est utilisé ensuite pour l'approximation de la distribution de la statistique de scan. L'intérêt de cette approche par rapport aux techniques existantes en littérature est du à la précision d'une erreur d'approximation, d'une part, et de son applicabilité qui ne dépend pas de la distribution du champ aléatoire sous-adjacent aux données, d'autre part.
Les modèles considérés dans ce travail sont le modèle i.i.d et le modèle de dépendance de type block-factor.
Pour la modélisation i.i.d. les résultats sont détaillés pour la statistique de scan uni, bi et tri-dimensionnelle. Un algorithme de simulation de type "importance sampling" a été introduit pour le calcul effectif des approximations et des erreurs associées. Des études de simulations démontrent l'efficacité des résultats obtenus. La comparaison avec d'autres méthodes existantes est réalisée.
La dépendance de type block-factor est introduite comme une alternative à la dépendance de type Markov. La méthodologie développée traditionnellement dans le cas i.i.d. est étendue à ce type de dépendance. L'application du résultat d'approximation pour la distribution de la statistique de scan pour ce modèle de dépendance est illustrée dans le cas uni et bi-dimensionnel.
Ces techniques, ainsi que celles existantes en littérature, ont été implémentées pour la première fois à l'aide des programmes Matlab® et une interface graphique.
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