Computation of Lyapunov functions and stability of interconnected systems
Calcul de fonctions Lyapunov et stabilité de systèmes interconnectés
Résumé
In this thesis, we investigate the problems of computation of Lyapunov functions and stability analysis of interconnected systems. In Chapter 1, preliminary results about stability, definitions of Lyapunov functions and triangulations are presented. In order to analyse stability of interconnected systems in Chapters 3 and 4, we introduce three small gain theorems. We propose a new approach of computing Lyapunov functions for dynamic systems without perturbations with an asymptotically stable equilibrium at the origin in Chapter 2. The proposed method constructs a continuous and piecewise affine (CPA) function on a compact subset of state space with the origin in its interior based on functions from classical converse Lyapunov theorems originally due to Yoshizawa, and then verifies if the vertex values satisfy linear inequalities for vertices in the subset excluding a small neighborhood of the origin. If the linear inequalities are satisfied, then the CPA function is a CPA Lyapunov function on the subset excluding a small neighborhood of the origin. Several examples are presented to show the feasibility of the approach. Since a maximal robust Lyapunov function for uniformly asymptotically stable systems can be obtained using Zubov's method, we present a new way of computing integral input-to- state stable (iISS) Lyapunov functions by Zubov's method and auxiliary systems in Chapter 3. For an iISS dynamic system with perturbation, we introduce an auxiliary system which is uniformly asymptotically stable. Then a robust Lyapunov function for the auxiliary system is computed by Zubov's method. We then prove that such a robust Lyapunov function is an iISS Lyapunov function for the original dynamic system with perturbation. We further state that the iISS Lyapunov function is a local input to state stable (ISS) Lyapunov function for the considered dynamic system with perturbations on a subset of the domain of attraction for the auxiliary system. Furthermore, stability of two interconnected iISS systems is investigated. For each subsystem, using our proposed method, iISS and ISS Lyapunov functions are constructed. Stability of the interconnected systems is then analyzed by the small gain theorem in comparison form and the small gain theorem in dissipative form, respectively. An academic example is shown to illustrate how this method is applied. In Chapter 4, we design a numerical algorithm for computing ISS Lyapunov functions for dynamic systems with perturbations. This algorithm relies on a linear optimization problem. If the linear optimization problem has a feasible solution, then the solution is proved to be a CPA ISS Lyapunov function on a spatial grid covering the given compact set excluding a small neighborhood of the origin. Since the interpolation errors are incorporated in the linear constraints, as in Chapter 2 the computed ISS Lyapunov function is a true ISS Lyapunov function rather than a numerical approximation. We prove that the linear optimization problem has a feasible solution if the system is ISS. Furthermore, we study stability of interconnected ISS systems. For each subsystem, an ISS Lyapunov function is computed by our proposed method. Since the obtained ISS Lyapunov functions satisfy linear inequalities, the stability of interconnected systems can be analyzed by the small gain theorem in linear form.
Dans cette thèse, nous étudions les problèmes de calcul des fonctions de Lyapunov et l'analyse de la stabilité des systèmes interconnectés. Afin d'analyser la stabilité des systèmes interconnectés, nous introduisons trois petits théorèmes de gain. Nous proposons une nouvelle approche du calcul de fonctions de Lyapunov pour les systèmes dynamiques sans perturbations avec un équilibre asymptotiquement stable à l'origine. La méthode proposée construit une fonction affine par morceaux et continue (CPA) sur un sous-ensemble compact, de l'espace de l'Etat, et contenant l’origine dans son intérieur. Cette construction est basée sur des théorèmes classiques sur les fonctions de Lyapunov, établis
par Yoshizawa, et permet de vérifier si les valeurs sur les sommets satisfont les inégalités linéaires pour les sommets dans sous-ensemble à l'exclusion d'un petit voisinage de l'origine. Si les inégalités linéaires sont satisfaites, alors la fonction de CPA est une fonction de Lyapunov CPA sur le sous-ensemble excluant un petit voisinage de l'origine. Plusieurs exemples sont présentés pour démontrer la faisabilité de l'approche.
D’autre part, étant donné qu’une fonction de Lyapunov robuste maximale pour les systèmes uniformément asymptotiquement stable peut être obtenue en utilisant la méthode de Zubov, nous présentons une nouvelle façon pour calculer une fonction Lyapunov IISS
Pour un système dynamique IISS avec perturbation, nous introduisons un système auxiliaire qui est uniformément asymptotiquement stable. Ensuite, une fonction de Lyapunov robuste pour le système auxiliaire est calculée par la méthode de Zubov. Nous montrons ensuite qu'une telle fonction robuste Lyapunov est une fonction IISS Lyapunov pour le système dynamique originale avec perturbation. Nous affirmons en outre que la fonction IISS Lyapunov est une entrée locale à état stable fonction (ISS) Lyapunov pour le système dynamique considéré comme des perturbations sur un sous-ensemble du domaine d'attraction pour le système auxiliaire. En outre, la stabilité de deux systèmes interconnectés IISS est étudiée. Pour chaque sous-système, en utilisant notre méthode proposée, les fonctions IISS et ISS Lyapunov sont construites. La stabilité des systèmes interconnectés est ensuite analysée. Un exemple académique est présenté pour illustrer comment cette méthode est appliquée. Dans le chapitre 4, nous concevons un algorithme numérique pour calculer les fonctions de Lyapunov ISS pour les systèmes dynamiques avec des perturbations. Cet algorithme s’appuie sur un problème d'optimisation linéaire. Nous prouvons que le problème d'optimisation linéaire a une solution réalisable si le système est ISS. En outre, nous étudions la stabilité des systèmes interconnectés ISS. Pour chaque sous-système, une fonction de Lyapunov ISS est calculé par notre méthode proposée.
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