Mathematical and algorithmic analysis of modified Langevin dynamics

Résumé : En physique statistique, l’information macroscopique d’intérêt pour les systèmes considérés peut être dé-duite à partir de moyennes sur des configurations microscopiques réparties selon des mesures de probabilitéµ caractérisant l’état thermodynamique du système. En raison de la haute dimensionnalité du système (quiest proportionnelle au nombre de particules), les configurations sont le plus souvent échantillonnées en util-isant des trajectoires d’équations différentielles stochastiques ou des chaînes de Markov ergodiques pourla mesure de Boltzmann-Gibbs µ, qui décrit un système à température constante. Un processus stochas-tique classique permettant d’échantillonner cette mesure est la dynamique de Langevin. En pratique, leséquations de la dynamique de Langevin ne peuvent pas être intégrées analytiquement, la solution est alorsapprochée par un schéma numérique. L’analyse numérique de ces schémas de discrétisation est maintenantbien maîtrisée pour l’énergie cinétique quadratique standard. Une limitation importante des estimateurs desmoyennes sontleurs éventuelles grandes erreurs statistiques.Sous certaines hypothèsessur lesénergies ciné-tique et potentielle, il peut être démontré qu’un théorème de limite central est vrai. La variance asymptotiquepeut être grande en raison de la métastabilité du processus de Langevin, qui se produit dès que la mesure deprobabilité µ est multimodale.Dans cette thèse, nous considérons la discrétisation de la dynamique de Langevin modifiée qui améliorel’échantillonnage de la distribution de Boltzmann-Gibbs en introduisant une fonction cinétique plus généraleà la place de la formulation quadratique standard. Nous avons en fait deux situations en tête : (a) La dy-namique de Langevin Adaptativement Restreinte, où l’énergie cinétique s’annule pour les faibles moments,et correspond à l’énergie cinétique standard pour les forts moments. L’intérêt de cette dynamique est que lesparticules avec une faible énergie sont restreintes. Le gain vient alors du fait que les interactions entre lesparticules restreintes ne doivent pas être mises à jour. En raison de la séparabilité des positions et des mo-ments marginaux de la distribution, les moyennes des observables qui dépendent de la variable de positionsont égales à celles calculées par la dynamique de Langevin standard. L’efficacité de cette méthode résidedans le compromis entre le gain de calcul et la variance asymptotique des moyennes ergodiques qui peutaugmenter par rapport à la dynamique standards car il existe a priori plus des corrélations dans le tempsen raison de particules restreintes. De plus, étant donné que l’énergie cinétique est nulle sur un ouvert, ladynamique de Langevin associé ne parvient pas à être hypoelliptique. La première tâche de cette thèse est deprouver que la dynamique de Langevin avec une telle énergie cinétique est ergodique. L’étape suivante con-siste à présenter une analyse mathématique de la variance asymptotique de la dynamique AR-Langevin. Afinde compléter l’analyse de ce procédé, on estime l’accélération algorithmique du coût d’une seule itération,en fonction des paramètres de la dynamique. (b) Nous considérons aussi la dynamique de Langevin avecdes énergies cinétiques dont la croissance est plus que quadratique à l’infini, dans une tentative de réduire lamétastabilité. La liberté supplémentaire fournie par le choix de l’énergie cinétique doit être utilisée afin deréduire la métastabilité de la dynamique. Dans cette thèse, nous explorons le choix de l’énergie cinétique etnous démontrons une convergence améliorée des moyennes ergodiques sur un exemple de faible dimension.Un des problèmes avec les situations que nous considérons est la stabilité des régimes discrétisés. Afind’obtenir une méthode de discrétisation faiblement cohérente d’ordre 2 (ce qui n’est plus trivial dans le casde l’énergie cinétique générale), nous nous reposons sur les schémas basés sur des méthodes de Metropolis.
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Mathematical Physics [math-ph]. Université Grenoble Alpes, 2016. English. 〈NNT : 2016GREAM054〉
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Zofia Trstanova. Mathematical and algorithmic analysis of modified Langevin dynamics. Mathematical Physics [math-ph]. Université Grenoble Alpes, 2016. English. 〈NNT : 2016GREAM054〉. 〈tel-01682721〉

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