Theoretical and numerical study of problems nonlinear in the sense of McKean in finance
Etude théorique et numérique de problèmes non linéaires au sens de McKean en finance
Résumé
This thesis is dedicated to the theoretical and numerical study of two problems which are nonlinear in the sense of McKean in finance. In the first part, we study the calibration of a local and stochastic volatility model taking into account the prices of European options observed in the market. This problem can be rewritten as a stochastic differential equation (SDE) nonlinear in the sense of McKean, due to the conditional expectation of the stochastic volatility factor computed w.r.t. the solution of the SDE in the diffusion coefficient. We obtain existence in the particular case where the stochastic volatility factor is a jump process with a finite number of states. In the industry, Guyon and Henry-Labordère proposed an efficient calibration procedure which consists in approximating the conditional expectation using a kernel estimator such as the Nadaraya-Watson one. We obtain weak convergence at order 1 for the Euler scheme discretizing in the time the SDE nonlinear in the sense of McKean. We also introduce a numerical half-step scheme and study the the associated particle system that we compare with the algorithm presented by Guyon and Henry-Labordère. In the second part of the thesis, we tackle a problem of derivative pricing with initial margin requirements, a recent problem that appeared along with new regulation since the 2008 financial crisis. This problem can be modelled by an anticipative backward stochastic differential equation (BSDE) with dependence in the law of the solution in the driver. We show that the equation is well posed and propose an approximation of its solution by standard linear BSDEs when the liquidation duration in case of default is small. Finally, as the computation of the solutions of the linear BSDEs approximating the solution of the BSDE nonlinear in the sense of McKean can be improved thanks to the multilevel Monte-Carlo method introduced by Giles, we perform the numerical analysis of this technique.
Cette thèse est consacrée à l’étude théorique et numérique de deux problèmes non linéaires au sens de McKean en finance. Nous abordons dans la première partie le problème de calibration d’un modèle à volatilité locale et stochastique pour tenir compte des prix d’options Européennes observés sur le marché. Ce problème se traduit par l’étude d’une équation différentielle stochastique (EDS) non linéaire au sens de McKean à cause de la présence de l’espérance conditionnelle du coefficient de volatilité stochastique par rapport à la solution de l’EDS dans le coefficient de diffusion. Nous obtenons l’existence du processus dans le cas particulier où la fonction de volatilité stochastique est un processus de sauts ayant un nombre fini d’états. Dans l’industrie, la calibration est effectuée efficacement à l’aide d’une régularisation de l’espérance conditionnelle par un estimateur à noyau de type Nadaraya-Watson, comme proposé par Guyon et Henry-Labordère. Nous obtenons la convergence faible à l’ordre 1 de la discrétisation en temps de l’EDS non linéaire au sens de McKean. Nous proposons également un schéma numérique demi-pas de temps et étudions le système de particules associé que nous comparons à l’algorithme proposé par Guyon et Henry Larbodère. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons à un problème de valorisation de contrat avec appels de marge, une problématique apparue avec l’application de nouvelles régulations depuis la crise financière de 2008. Ce problème peut être modélisé par une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) anticipative avec dépendance en la loi de la solution dans le générateur. Nous montrons que cette équation est bien posée et proposons une approximation de sa solution à l’aide d’EDSR standards linéaires lorsque la durée de liquidation de l’option en cas de défaut est petite. Enfin, comme le calcul des solutions d’EDSR approchant la solution de l’EDSR non linéaire au sens de McKean peut être amélioré à l’aide de la méthode de Monte Carlo multiniveaux introduite par Giles, nous effectuons l’analyse numérique de cette technique.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
Loading...