Nous étudions le comportement en temps long d'une équation différentielle stochastique (EDS) de type McKean-Vlasov, dirigée par une mesure de Poisson. En neurosciences, cette EDS modélise la dynamique du potentiel de membrane d'un neurone typique dans un grand réseau. Le modèle peut-être obtenu en considérant un réseau fini de neurones de type Intègre-Et-Tire généralisé et en prenant la limite où le nombre de neurones tend vers l'infini. Cette EDS est donc un modèle champ moyen de neurones à décharge.Nous étudions l'existence et l'unicité de la solution de cette EDS McKean-Vlasov et nous donnons ses mesures de probabilité invariantes. Si le paramètre d'interaction J est suffisamment petit, nous prouvons l'unicité et la stabilité globale de la mesure invariante. Pour un J quelconque cependant, il peut y avoir plusieurs mesures de probabilité invariantes. Nous donnons une condition suffisante assurant la stabilité locale d'une telle mesure invariante. Notre critère fait intervenir les zéros d'une fonction holomorphe associée à la solution stationnaire considérée. Lorsque tous les zéros sont de partie réelle négative, nous prouvons la stabilité. Nous donnons finalement des conditions générales suffisantes assurant l'existence de solutions périodiques par le biais d'une bifurcation de Hopf : pour un certain paramètre d'interaction critique J0, la probabilité invariante perd sa stabilité et des solutions périodiques apparaissent pour J suffisamment proche de J0. Pour obtenir ces résultats, nous combinons des méthodes probabilistes et déterministes. En particulier, dans cette analyse, un outil clé est l'équation intégrale de Volterra non linéaire satisfaite par le courant synaptique. Enfin, nous illustrons ces résultats par des exemples que l'on peut traiter de manière analytique. En outre, nous donnons des méthodes numériques pour approximer la solution de l'équation champ moyen et pour prédire numériquement les bifurcations.