Enriched homogenized models in presence of boundaries : analysis and numerical treatment
Modèles homogénéisés enrichis en présence de bords : Analyse et traitement numérique
Résumé
When we are interested in the propagation of waves in a periodic medium at low frequency (i.e. wavelength large compared to the period length), it is possible to model the periodic medium by an equivalent or effective homogeneous medium which has the same macroscopic properties. It is the homogenization theory that mathematically justifies this process. This process is very attractive because numerical calculations are then much less expensive (the small periodic structure has disappeared) and analytical calculations are again possible in certain configurations. The waves in the periodic medium and in the effective medium are very close from a macroscopic point of view except in the presence of boundaries or interfaces.Indeed, it is well known that the homogenized model is obtained by neglecting the boundary effects and consequently, it is much less precise at the boundaries of the periodic medium. When interesting phenomena appear at the edges of the middle (such as the propagation of plasmonic waves on the surface of metamaterials for example), it therefore seems difficult to trust the effective model.Returning to the homogenization process, we propose a homogenized model which is richer at the boundaries. The enriched homogenized model is as simple as the classical homogenized model far from the interfaces, only the boundary conditions change and take better account of the phenomena. We apply this model to an elliptical equation in the case of the simple geometry of the half-plane with Dirichlet or Neumann type conditions. From a numerical point of view, in addition to classic cell problems that appear in homogenization, periodic band problems must also be solved. Finally, we apply these results to the long time wave equation.
Quand on s’intéresse à la propagation des ondes dans un milieu périodique à basse fréquence (i.e. la longueur d’onde est grande devant la période), il est possible de modéliser le milieu périodique par un milieu homogène équivalent ou effectif qui a les mêmes propriétés macroscopiques. C’est la théorie de l’homogénéisation qui justifie d’un point de vue mathématique ce procédé. Ce procédé est très séduisant car les calculs numériques sont beaucoup moins couteux (la petite structure périodique a disparu) et des calculs analytiques sont de nouveau possibles dans certaines configurations. Les ondes dans le milieu périodique et dans le milieu effectif sont très proches d’un point de vue macroscopique sauf en présence de bords ou d’interfaces.En effet, il est bien connu que le modèle homogénéisé est obtenu en négligeant les effets de bords et par conséquent il est beaucoup moins précis aux bords du milieu périodique. Quand les phénomènes intéressants apparaissent aux bords du milieu (comme la propagation des ondes plasmoniques à la surface des métamatériaux par exemple), il semble donc difficile de faire confiance au modèle effectif.En revenant sur le processus d’homogénéisation, nous proposons un modèle homogénéisé qui est plus riche aux niveaux des bords. Le modèle homogénéisé enrichi est aussi simple que le modèle homogénéisé classique loin des interfaces, seule les conditions aux bords changent et prennent mieux en compte les phénomènes. Nous appliquons ce modèle à une équation elliptique dans le cas de la géométrie simple du demi-plan avec des conditions de type Dirichlet ou Neumann. D’un point de vue numérique, en plus des problèmes de cellule classiques qui apparaissent en homogénéisation, des problèmes de bandes périodiques doivent également être résolus. Pour finir, nous appliquons ces résultats à l'homogénéisation de l'équation des ondes en temps long et en présence de bords.
Origine : Version validée par le jury (STAR)