High Order Finite Element Method for solving Convected Helmholtz equation in radial and axisymmetric domains. Application to Helioseismology - Archive ouverte HAL Access content directly
Reports (Research Report) Year : 2016

High Order Finite Element Method for solving Convected Helmholtz equation in radial and axisymmetric domains. Application to Helioseismology

Eléments finis d'ordre élevé pour l'équation de Helmholtz convectée dans des domaines radiaux et axisymétriques. Application à l'héliosismologie

(1, 2) , (3, 1)
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Abstract

This document concerns the solution of convected Helmholtz equation for radial or axisymmetric configuration. After setting the considered problem and the associated equations, we propose a numerical method adapted for geometries that only vary radially. Then we propose a numerical method for geometries with an axial symmetry. In these two situations, the solution is computed with finite elements after having been decomposed on a basis of orthogonal modes : spherical harmonics in the radial geometry and Fourier modes in the axisymmetric geometry. The number of required modes depends on the configuration (and especially location) of the source. The two methods are tested on the computation of Green's functions for which analytical solutions are available for quantitative comparison. The methods are then compared with the classical 3D finite elements method, and the performances are assessed for an academic test case, showing the advantages of each method in terms of computation time and memory usage. In the context of helioseismology, the perturbation of the fluid displacement in the sun can be modeled accurately by Galbrun's equations. We show that under some assumptions on the background medium, the Galbrun's equations can be simplified to an equation that has the same variational formulation as the one treated in the first part of this document. Numerical simulations are done in this realistic configuration, and the different methods of resolution are compared.
Ce document traite la résolution de l'équation de Helmholtz convectée pour des géométries radiales ou axisymétriques. Après avoir établi le problème considéré et les équations associées, nous proposons une méthode numérique adaptée pour les géométries qui varient uniquement dans la direction radiale. Ensuite nous proposons une méthode pour les géométries présentant une symétrie axiale. Dans ces deux situations, la solution est calculée avec des éléments finis après l'avoir décomposée sur une base de modes orthogonaux : les harmoniques sphériques pour la géométrie radiale et les modes de Fourier pour la géométrie axi-symétrique. Le nombre de modes nécessaires dépend de la configuration (et en particulier de la localisation) de la source. Les deux méthodes sont testées sur le calcul de la fonction de Green, pour laquelle des solutions analytiques sont disponibles pour une comparaison quantitative. Les méthodes sont ensuite comparées avec les éléments finis classiques en 3D, et les performances sont comparées sur un cas test académique, montrant les avantages de chaque méthode en termes de temps de calcul et d'utilisation mémoire. Dans le contexte de l'héliosismologie, les équations de Galbrun sont une bonne modélisation de la perturbation du déplacement fluide dans le Soleil. Nous montrons que sous certaines hypothèses sur le milieu quasi-stationnaire, les équations de Galbrun peuvent se simplifier en une équation qui admet la même formulation variationnelle que l'équation traitée dans la première partie de ce document. Des simulations numériques sont effectuées dans cette situation réaliste, et les différentes méthodes de résolution sont comparées.
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Dates and versions

hal-01295077 , version 1 (30-03-2016)

Identifiers

  • HAL Id : hal-01295077 , version 1

Cite

Juliette Chabassier, Marc Duruflé. High Order Finite Element Method for solving Convected Helmholtz equation in radial and axisymmetric domains. Application to Helioseismology. [Research Report] RR-8893, Inria Bordeaux Sud-Ouest. 2016. ⟨hal-01295077⟩
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