Nous étudions le comportement asymptotique des équations de dérive-diffusion (DD) des semi-conducteurs. Pour cela, après un changement d'échelle, nous faisons apparaître un petit paramètre $\lambda$ devant le terme de diffusion. Pour obtenir un problème limite complet, nous devons introduire deux fonctions liées au logarithme de la concentration des électrons. Nous montrons, qu'avec ces nouvelles variables, le problème limite s'exprime sous la forme d'un système couplé équations de Hamilton-Jacobi - inéquations variationnelles. Dans le cas unidimensionnel, nous prouvons l'unicité de ce problème limite~; cela nous donne alors toutes les informations nécessaires pour étudier le comportement du modèle DD pour $\lambda$ petit. Nous étudions aussi l'intérêt de ces nouvelles variables au niveau numérique. Notre méthode étend les résultats connus, précise également la convergence de la concentration des électrons, améliore les hypothèses nécessaires et enfin donne une approche originale au problème susceptible d'être utilisée au niveau numérique.