Estimation non paramétrique pénalisée de la dérivée de la densité d'un processus de diffusion

Résumé : Nous considérons un processus de diffusion $\left(X_t\right)_{t\geq0}$ de fonction de dérive $b$ et de coefficient de diffusion $\sigma$. Nous supposons que le processus est strictement stationnaire et $\beta$-mélangeant. Ce processus est observé à des instants discrets $t_k=k\Delta$ pour $k$ variant de 0 à $n+1$. Nous calculons deux estimateurs non paramétriques de la dérivée $f'$ de la densité $f$ de ce processus. Pour cela, nous considérons une famille de sous-espaces vectoriels et, sur chacun de ces sous-espaces, nous calculons deux estimateurs de $f'$, $\hat{f'}_m^{(d)}$ et $\hat{f'}_m^{(b)}$. Nous choisissons ensuite les deux meilleurs estimateurs possibles, $\hat{f'}_{\hatm}^{(d)}$ et $\hat{f'}_{\hatm}^{(b)}$ en introduisant deux fonctions de pénalité $pen^{(d)}(m)$ et $pen^{(b)}(m)$. Le premier estimateur, $\hat{f'}_m^{(d)}$, est obtenu en dérivant un estimateur de $f$. Cet estimateur minimise une fonction de contraste. L'estimateur adaptatif $\hat{f'}_{\hatm}^{(d)}$ est convergent si $n\Delta\rightarrow\infty$ (que le pas $\Delta$ soit fixé ou qu'il tende vers 0). Pour calculer le second estimateur, nous supposons que le coefficient de diffusion $\sigma$ est constant égal à 1. Dans ce cas, la fonction $f'$ vérifie l'égalité $f'(x)=2b(x)f(x)$. L'estimateur $\hat{f'}_m^{(b)}$ minimise une fonction de contraste basée sur cette égalité. Lorsque le pas $\Delta$ est petit, le risque de l'estimateur $\hatf_{\hatm}^{(b)}$ est plus petit que le risque de $\hat{f'}_{\hatm}^d$. Cependant, l'estimateur $\hatf_{\hatm}^{(b)}$ ne converge que si $\Delta\rightarrow0$ et $n\Delta\rightarrow\infty$.
Type de document :
Communication dans un congrès
42èmes Journées de Statistique, 2010, Marseille, France, France. 2010
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Contributeur : Conférence Sfds-Hal <>
Soumis le : jeudi 24 juin 2010 - 08:53:19
Dernière modification le : mardi 11 octobre 2016 - 12:02:39
Document(s) archivé(s) le : lundi 27 septembre 2010 - 11:17:25

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Emeline Schmisser. Estimation non paramétrique pénalisée de la dérivée de la densité d'un processus de diffusion. 42èmes Journées de Statistique, 2010, Marseille, France, France. 2010. <inria-00494685>

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