Consistance des statistiques dans les espaces quotients de dimension infinie

Loïc Devilliers 1, 2
2 ASCLEPIOS - Analysis and Simulation of Biomedical Images
CRISAM - Inria Sophia Antipolis - Méditerranée
Résumé : En anatomie computationnel, on suppose que les formes d'organes sont issues de déformation d'un template commun. Les données peuvent être des images ou des surfaces d'organes, les déformations peuvent être des difféomorphismes. Pour estimer le template, on utilise souvent un algorithme, appelé «max-max», qui minimise parmi tous les template candidats, la somme des carrées des distances après recalage entre les données et le template candidat. Le recalage étant une étape dans l'algorithme qui trouve la meilleur déformation pour passer d'une forme à une autre. Le but de cette thèse est d'étudier cet algorithme max-max d'un point de vue mathématique. En particulier, on prouve que cet algorithme est inconsistant à cause du bruit. Cela veut dire que même avec un nombre infini de données et avec un algorithme de minimisation parfait, on estime le template original avec une erreur. Pour prouver cette inconsistance, différentes hypothèses sont requises dans différent résultats de cette thèse. Nous devons donc expliquer ces hypothèses, et surtout produire des résultats avec les hypothèses les plus faibles possibles, pour s'approcher du cadre utilisé dans les applications. Pour prouver l'inconsistance, on formalise mathématiquement l'estimation de template. On suppose que les déformations sont des éléments aléatoires d'un groupe qui agit sur l'espace des observations. De plus, l'algorithme étudié est interprété comme le calcul de la moyenne de Fréchet dans l'espace des observations quotienté par le groupe des déformations. Dans cette thèse, on prouve que l'inconsistance est dû à la contraction de la distance quotient par rapport à la distance dans l'espace des observations. Dans cette thèse, les observations appartiennent à des espaces comme les espaces de Hilbert ou les variétés Riemanniennes, l'inconsistance est obtenue pour presque tous les bruits. Un autre but de cette thèse est de quantifier l'inconsistance. On estime l'erreur entre le template originel et le template estimé. Cela met en évidence les paramètres qui gouvernent l'inconsistance. On obtient un équivalent de biais de consistance en fonction du niveau de bruit. Ainsi, l'inconsistance est inévitable quand le niveau de bruit est suffisamment grand.
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Thèse
Statistiques [math.ST]. Université Côte d’Azur, 2017. Français
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Contributeur : Loic Devilliers <>
Soumis le : dimanche 14 janvier 2018 - 12:02:43
Dernière modification le : mardi 16 janvier 2018 - 01:21:54

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Loïc Devilliers. Consistance des statistiques dans les espaces quotients de dimension infinie. Statistiques [math.ST]. Université Côte d’Azur, 2017. Français. 〈tel-01683607〉

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