Möbius spaces and large-scale geometry
Espaces de Möbius et géométrie à grande échelle
Résumé
This manuscript develops the geometry and analysis of Möbius spaces in two directions: Hilbert spaces attached to Möbius spaces, and asymptotic Möbius geometry. In Part 1, we construct Sobolev spaces H(d,α) on (1/2 + α/Q)-densities associated with a Q-dimensional Möbius structure M. We show that M has a uniform Ahlfors-David constant and use this observation to show that the norms on H(d,α) are comparable on a large class of functions for all (0 < α < Q/2). This is a partial result of a program to construct and study uniformly bounded representations for all hyperbolic groups. In Part 2, we study a class of large-scale Möbius maps (AM-maps) as a tool to move from the discrete to the continuous theory. We show that under such maps some large-scale notions of dimension increase. This means, for example, that a CAT(0)-space which admits an AM-mapping to a hyperbolic space must itself be hyperbolic. We also construct an AM-mapping from an infinite dimensional Heisenberg group to Hilbert space.
Ce manuscrit développe la géométrie et l'analyse des espaces de Möbius dans les deux directions suivantes: Les espaces de Hilbert attachés aux espaces de Möbius, et la géométrie de Möbius à grande échelle. En ce qui concerne le premier point ci-dessus, nous construisons des espaces de Sobolev H(d,α) sur les (1/2 + α/Q)-densités associés avec une structure de Möbius M de dimension Q. Nous montrons que M a une constante d'Ahlfors-David uniforme. Nous utilisons cette observation pour montrer que les normes sur H(d,α) sont comparables sur une grande classe de fonctions pour tous (0 < α < Q/2). Il s'agit d'un résultat partiel d'un programme visant à construire et étudier des représentations uniformément bornées pour tous les groupes hyperboliques. Dans la deuxième partie, nous développons la géométrie de Möbius asymptotique comme outil pour passer de la théorie discrète à la théorie continue. Nous montrons que sous de telles applications, certaines notions de dimension à grande échelle augmentent. Cela signifie, par exemple, qu'un espace CAT(0) qui admet un plongement asymptotiquement Möbius dans un espace hyperbolique doit lui-même être hyperbolique. Nous construisons également un plongement asymptotiquement Möbius d'un groupe de Heisenberg de dimension infinie dans un espace de Hilbert.
Origine : Version validée par le jury (STAR)