Computability of Topological Spaces
Calculabilité des espaces topologiques
Résumé
The main objective of this thesis is to examine the concept of "computable type" and enhance our overall understanding of this notion, as well as provide techniques for verifying or disproving this property. A compact metrizable space is said to have computable type if any semicomputable homeomorphic copy of that space is actually computable. This study builds upon the work of Miller, who demonstrated that finite-dimensional spheres have computable type, and Iljazović and other authors, who extended this property to various spaces, including compact manifolds. To begin, we establish the equivalence between two distinct definitions of computable type present in the literature, involving metric spaces and Hausdorff spaces, respectively. We contend that the stronger, relativized version of computable type exhibits more favorable properties and lends itself well to topological analysis. Consequently, we derive characterizations of "strong computable type" in purely topological terms as well as the descriptive complexity of topological invariants. It naturally leads to our second objective, which is the study of the expressive power of topological invariants of low descriptive complexity and their ability to differentiate between spaces. Specifically, we investigate two families of low descriptive complexity topological invariants that capture the extensibility and null-homotopy of continuous functions. Using this framework, we revisit previous findings on computable type and discover new insights. Notably, we identify the complexity of the finite topological graph separation problem. Lastly, our third objective revolves around applying homology theory to study what we term the "surjection property" which characterizes the computable type property. For instance, we prove that a finite simplicial complex has (strong) computable type if and only if the star at each vertex satisfies the surjection property. Furthermore, the reduction to homology implies that the computable type property is decidable, for finite simplicial complexes of dimension at most 4.
L'objectif principal de cette thèse est d'examiner le concept de "type calculable" et d'améliorer notre compréhension globale de cette notion, ainsi que de fournir des techniques pour vérifier ou réfuter cette propriété. Un espace métrisable compact est dit de type calculable si pour tout ensemble homéomorphe à cet espace, semi-calculabilité et calculabilité sont équivalentes. Cette étude s'appuie sur les travaux de Miller, qui a démontré que les sphères de dimension finie sont de type calculable, ainsi que sur les travaux d'Iljazović et d'autres auteurs, qui ont étendu cette propriété à divers espaces tels que les variétés compactes. Pour commencer, nous établissons l'équivalence entre deux définitions distinctes de type calculable présentes dans la littérature, impliquant respectivement des espaces métriques et des espaces de Hausdorff. Nous soutenons que la version relativisée et plus forte du type calculable présente des propriétés plus favorables et se prête bien à l'analyse topologique. Nous obtenons ainsi des caractérisations du "type calculable fort" de nature purement topologiques, et en lien avec la complexité descriptive des invariants topologiques. Cela nous amène naturellement à notre deuxième objectif, l'étude du pouvoir expressif des invariants topologiques de faible complexité descriptive et de leur capacité à distinguer des espaces différents. Plus précisément, nous étudions deux familles d'invariants topologiques de faible complexité qui capturent l'extensibilité et la trivialité homotopique des fonctions continues. En utilisant ce cadre, nous revisitons les résultats précédents sur le type calculable et découvrons de nouvelles perspectives. Notamment, nous identifions la complexité du problème de séparation des graphes topologiques finis. Enfin, notre troisième objectif se concentre sur l'application de la théorie de l'homologie à l'étude de ce que nous appelons la "propriété de surjection", qui caractérise la propriété de type calculable. Par exemple, nous prouvons qu'un complexe simplicial fini est de type calculable (fort) si et seulement si l'étoile de chaque sommet satisfait la propriété de surjection. De plus, la réduction à l'homologie implique que la propriété de type calculable est décidable pour les complexes simpliciaux finis de dimension au plus 4.
Origine : Version validée par le jury (STAR)