On the top-dimensional ℓ^2 -Betti numbers
Sur les nombres de Betti ℓ^2 en dimension maximale
Résumé
The purpose of this note is to introduce a trick which relates the (non)-vanishing of the top-dimensional ℓ 2-Betti numbers of actions with that of sub-actions. We provide three different types of applications: we prove that the ℓ 2-Betti numbers of Aut(Fn) and Out(Fn) (and of their Torelli subgroups) do not vanish in degree equal to their virtual cohomological dimension, we prove that the subgroups of the 3-manifold groups have vanishing ℓ 2-Betti numbers in degree 3 and 2 and we prove for instance that F_2^d × Z has ergodic dimension d + 1.
Le but de cette note est d'introduire une astuce qui relie l'annulation (ou la non-annulation) du nombre de Betti ℓ 2 en dimension maximale des actions d'un groupe avec l'annulation pour ses sous-actions. On fournit trois différents types d'applications : on montre que les nombres de Betti ℓ 2 de Aut(Fn) et Out(Fn) (et de leurs sous-groupe de Torelli) ne s'annulent pas en degréégalà leur dimension cohomologique virtuelle ; on prouve qu'un sous-groupe quelconque du groupe fondamental d'une variété compacte de dimension 3 a ses nombres de Betti ℓ 2 nuls en degré 3 et 2 et enfin, on parvientà déterminer la dimension ergodique de certains produits directs de la forme H × A où A est moyennable infini.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)