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Reports (Research Report) Year : 2016

Computing Polynomial Solutions and Annihilators of Integro-Differential Operators with Polynomial Coefficients

Calcul des solutions polynomiales et des annulateurs d’opérateurs intégro-différentiels à coefficients polynomiaux

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Abstract

In this paper, we study algorithmic aspects of the algebra of linear ordinary integro-differential operators with polynomial coefficients. Even though this algebra is not Noetherian and has zero divisors, Bavula recently proved that it is coherent, which allows one to develop an algebraic systems theory over this algebra. For an algorithmic approach to linear systems of integro-differential equations with boundary conditions, computing the kernel of matrices with entries in this algebra is a fundamental task. As a first step, we have to find annihilators of integro-differential operators, which, in turn, is related to the computation of polynomial solutions of such operators. For a class of linear operators including integro-differential operators, we present an algorithmic approach for computing polynomial solutions and the index. A generating set for right annihilators can be constructed in terms of such polynomial solutions. For initial value problems, an involution of the algebra of integro-differential operators then allows us to compute left annihilators, which can be interpreted as compatibility conditions of integro-differential equations with boundary conditions. We illustrate our approach using an implementation in the computer algebra system Maple.
Dans ce papier, nous étudions certains aspects algorithmiques de l’algèbre des opérateurs intégro-différentiels ordinaires linéaires à coefficients polynomiaux. Même si cette algèbre n’est pas noetherienne et admet des diviseurs de zéro, Bavula a récemment montré qu’elle était cohérente, ce qui permet le développement d’une théorie algébrique des systèmes linéaires sur cette algèbre. Pour une approche algorithmique des systèmes linéaires d’équations intégro-différentielles ordinaires avec conditions aux bords, le calcul du noyau de matrices à coefficients dans cette algèbre est un problème fondamental. Pour cela, dans un premier temps, nous sommes amenés à calculer les annulateurs d’opérateurs intégro-différentiels, problème qui, à son tour, est relié au problème du calcul des solutions polynomiales de tels opérateurs. Pour une classe d’opérateurs linéaires incluant les opérateurs intégro-différentiels, nous présentons une approche algorithmique pour le calcul des solutions polynomiales et de l’indice. Un ensemble générateur des annulateurs à droite d’un opérateur intégro-différentiel est alors construit grâce au calcul de solutions polynomiales. Pour les problèmes avec conditions initiales, une involution de l’algèbre des opérateurs intégro-différentiels nous permet ensuite de calculer les annulateurs à gauche, qui peuvent être interprétés comme des conditions de compatibilité d’équations intégro-différentielles avec conditions aux bords. Nous illustrons notre approche à l’aide d’une implémentation dans le système de calcul formel Maple.
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Dates and versions

hal-01413907 , version 1 (11-12-2016)

Identifiers

  • HAL Id : hal-01413907 , version 1

Cite

Alban Quadrat, Georg Regensburger. Computing Polynomial Solutions and Annihilators of Integro-Differential Operators with Polynomial Coefficients. [Research Report] RR-9002, Inria Lille - Nord Europe; Institute for Algebra, Johannes Kepler University Linz. 2016, pp.24. ⟨hal-01413907⟩
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