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Theses Year : 2018

Extending higher-order logic with predicate subtyping

Extension de la logique d'ordre supérieur avec le sous-typage par prédicats

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Abstract

The type system of higher-order logic allows to exclude some unexpected expressions such as the application of a predicate to itself. However, it is not sufficient to verify more complex criteria such as the absence of divisions by zero. This thesis is dedicated to the study of an extension of higher-order logic, named predicate subtyping, whose purpose is to make the assignment of types as expressive as the assignment of predicates. Starting from a type A and a predicate P(x) of domain A, predicate subtyping allows to build a subtype of A, denoted {x : A | P(x)}, whose elements are the terms t of type A such that P(t) is provable. Predicate subtyping is at the heart of the proof system PVS. This work presents the formalization of a minimal system expressing predicate subtyping, named PVS-Core, as well as a system of verifiable certificates for PVS-Core. This second system, named PVS-Cert, is based on the introduction of proof terms and explicit coercions. PVS-Core and PVS-Cert are equipped with a notion of conversion corresponding respectively to equality modulo beta and to equality modulo beta and the erasure of coercions, chosen to establish a simple correspondence between the two systems. The construction of PVS-Cert is similar to that of PTSs (Pure Type Systems) with dependent pairs and PVS-Cert can be equipped with the notion of beta-sigma-reduction used at the core of these systems. One of the main theorems proved in this work is the strong normalization of both the reduction underlying the conversion and beta-sigma-reduction. This theorem allows, on the one hand, to build a type-checking (and proof-checking) algorithm for PVS-Cert and, on the other hand, to prove a cut elimination result, used in turn to prove important properties of the two studied systems. Furthermore, it is also proved that PVS-Cert is a conservative extension of the PTS lambda-HOL and that, as a consequence, PVS-Core is a conservative extension of higher-order logic. A second part presents the prototype of an instrumentation of PVS to generate proof certificates. A third and final part is dedicated to the study of links between classical and constructive logic, with the definition of a minimal double-negation translation as well as the presentation of an automated proof constructivization algorithm.
Le système de types de la logique d'ordre supérieur permet d'exclure certaines expressions indésirables telles que l'application d'un prédicat à lui-même. Cependant, il ne suffit pas pour vérifier des critères plus complexes comme l'absence de divisions par zéro. Cette thèse est consacrée à l’étude d’une extension de la logique d’ordre supérieur appelée sous-typage par prédicats (predicate subtyping), dont l'objet est de rendre l'attribution de types aussi expressive que l'attribution de prédicats. A partir d'un type A et d'un prédicat P(x) de domaine A, le sous-typage par prédicats permet de construire un sous-type de A, noté {x : A | P(x)}, dont les éléments sont les termes t de type A tels que P(t) est démontrable. Le sous-typage par prédicats est au coeur du système PVS. Ce travail présente la formalisation d'un système minimal incluant le sous-typage par prédicats, appelé PVS-Core, ainsi qu'un système de certificats vérifiables pour PVS-Core. Ce deuxième système, appelé PVS-Cert, repose sur l'introduction de termes de preuves et de coercions explicites. PVS-Core et PVS-Cert sont munis d'une notion de conversion correspondant respectivement à l'égalité modulo beta et à l'égalité modulo beta et effacement des coercions, choisi pour établir une correspondance simple entre les deux systèmes. La construction de PVS-Cert est semblable à celle des PTS (Pure Type Systems) avec paires dépendantes et PVS-Cert peut être muni de la notion de beta-sigma-réduction utilisée au coeur de ces systèmes. L'un des principaux théorèmes démontré dans ce travail est la normalisation forte de la réduction sous-jacente à la conversion et de la beta-sigma-réduction. Ce théorème permet d'une part de construire un algorithme de vérification du typage (et des preuves) pour PVS-Cert et d'autre part de démontrer un résultat d'élimination des coupures, utilisé à son tour pour prouver plusieurs propriétés importantes des deux systèmes étudiés. Par ailleurs, il est également démontré que PVS-Cert est une extension conservative du PTS lambda-HOL, et qu'en conséquence PVS-Core est une extension conservative de la logique d'ordre supérieur. Une deuxième partie présente le prototype d'une instrumentation de PVS pour produire des certificats de preuve. Une troisième et dernière partie est consacrée à l'étude de liens entre logique classique et constructive avec la définition d'une traduction par double négation minimale ainsi que la présentation d'un algorithme de constructivisation automatique des preuves.
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Dates and versions

hal-01673518 , version 1 (30-12-2017)
hal-01673518 , version 2 (05-12-2018)

Identifiers

  • HAL Id : hal-01673518 , version 2

Cite

Frédéric Gilbert. Extending higher-order logic with predicate subtyping: Application to PVS. Logic in Computer Science [cs.LO]. Université Sorbonne Paris Cité; Université Paris Diderot, 2018. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨hal-01673518v2⟩
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