Le développement des fonctions de variables réelles en séries de Taylor et de Frobenius (séries entières lesquels sont constituées dans des bases nonorthogonales, nonpériodiques), en séries de Fourier sinusoïdales (des bases des fonctions orthogonales, périodiques), en séries de fonctions spéciales (des bases des fonctions orthogonales, nonpériodiques), etc est une procédé couramment utilisé pour résoudre une large gamme d'équations différentielles ordinaires (ODEs) et d'équations aux dérivées partielles (PDEs). Dans cet article, basé sur une analyse approfondie des propriétés des séries de Fourier périodiques sinusoïdales (SFS), nous serons en mesure d'appliquer cette procédure à une catégorie beaucoup élargie d'ODEs (toutes les équations linéaires, homogènes et non homogènes à coefficients constants, une large catégorie d'équations linéaires et non linéaires à coefficients variables, systèmes d'ODEs, équations intégro-différentielles, etc.). Nous allons également étendre cette procédure et l'utiliser pour résoudre certains ODEs, des bases périodiques non orthogonales, représentées par des séries de Fourier périodiques non sinusoïdales (SFN).