Embedding the Grushin Cylinder in ${\bf R}^3$and Schroedinger evolution
Résumé
We consider the evolution of a free quantum particle on the Grushin cylinder, under different type of quantizations. In particular we are interested to understand if the particle can cross the singular set, i.e., the set where the structure is not Riemannian. We consider intrinsic and extrinsic quantizations, where the latter are obtained by embedding the Grushin structure isometrically in ${\bf R}^3$ (with singularities). As a byproduct we provide formulas to embed the Grushin cylinder in ${\bf R^3}$ that could be useful for other purposes. Such formulas are not global, but permit to study the embedding arbitrarily close to the singular set. We extend these results to the case of $\alpha $-Grushin cylinders.
Nous considérons l'évolution d'une particule quantique libre sur le cylindre de Grushin, sous différents types de quantizations. En particulier, nous nous intéressons à comprendre si la particule peut traverser l'ensemble singulier, c'est-à-dire l'ensemble où la structure n'est pas riemannienne. Nous considérons des quantizations intrinsèques et extrinsèques, ces dernières étant obtenues en plongeant la structure de Grushin isométriquement dans ${\bf R}^3$ (avec des singularités). Ce faisant, nous fournissons des formules pour plonger le cylindre Grushin dans ${\bf R^3}$ qui pourraient être utiles à d'autres fins. De telles formules ne sont pas globales, mais permettent d'étudier le plongement arbitrairement proche de l'ensemble singulier. Nous étendons ces résultats au cas des cylindres $\alpha $-Grushin.