ON REGULAR AND SINGULAR POINTS OF THE MINIMUM TIME FUNCTION
Sur les points réguliers et singuliers de la fonction du temps minimal
Résumé
In this thesis, we study the regularity of the minimum time function $T$ for both linear
and nonlinear control systems in Euclidean space.
We first consider nonlinear problems satisfying Petrov condition. In this case, $T$ is
locally Lipschitz and then is differentiable almost everywhere. In general, T fails to be
differentiable at points where there are multiple time optimal trajectories and its differentiability
at a point does not guarantee continuous differentiability around this point. We
show that, under some regularity assumptions, the non-emptiness of proximal subdifferential
of the minimum time function at a point $x$ implies its continuous differentiability on
a neighborhood of $x$. The technique consists of deriving sensitivity relations for the proximal
subdifferential of the minimum time function and excluding the presence of conjugate
points when the proximal subdifferential is nonempty.
We then study the regularity the minimum time function $T$ to reach the origin under
controllability conditions which do not imply the Lipschitz continuity of $T$. Basing on the
analysis of zeros of the switching function, we find out singular sets (e.g., non - Lipschitz
set, non - differentiable set) and establish rectifiability properties for them. The results
imply further regularity properties of $T$ such as the SBV regularity, the differentiability
and the analyticity. The results are mainly for linear control problems.
Dans cette thèse, nous étudions la régularité de la fonction temps minimal à la fois pour les systèmes contrôllés linéaire
et non linéaires, dans un espace euclidien.
Nous considérons d'abord des problèmes non linéaires satisfaisant la condition de Petrov. Dans ce cas, la fonction du temps
minimal est
localement Lipschitz et donc dérivable presque partout. En général, la fonction temps minimal n’est pas dérivable
aux points où il y a plusieurs trajectoires optimales. De plus, la différentiabilité de la fonction temps minimal
en un point ne garantit pas différentiabilité continue autour de ce point. Nous
montrons que, sous certaines hypothèses de régularité, le fait que sous-différentiel proximale
de la fonction d'un minimum de temps à un point $x$ soit non-vide implique la différentiabilité continue de la fonction sur
un voisinage de $x$. La technique de preuve consiste à dériver les relations de sensibilité pour le
sous-différentiel proximal de la fonction de temps minimum et à montrer l’absence de points conjugué
lorsque le sous-différentiel proximal n’est pas vide.
Nous étudions ensuite la régularité de la fonction minimum de temps pour atteindre l'origine sous des
conditions de contrôlabilité qui n’impliquent pas la continuité de Lipschitz de la fonction. En analysant
l’ensemble des zéros de la fonction de commutation, nous décrivons les ensembles singuliers (par exemple, ensemble non-Lipschitz
ou non-différentiable) et établissons des propriétés de rectifiabilité pour ces ensembles.
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