Martingales in manifolds with prescribed terminal value
Martingales sur les variétés de valeur terminale donnée
Résumé
Defined several decades ago, martingales in manifolds are very canonical objects. About these objects very simple questions are still unresolved. For instance, given a random variable with values in a complete manifold and a continuous filtration (one with respect to which all real-valued martingales admit a continuous version), does there exist a continuous martingale in the manifold with terminal value given by this random variable ? What about semimartingales with prescribed drift and terminal value ? The main aim of this thesis is to provide answers to these questions. Under convex geometry assumption, answers are given in the articles of Kendall (1990), Picard (1991), Picard (1994), Darling (1995) or Arnaudon (1997). The case of semimartingales was widely treated by Blache (2004). The martingales in the manifolds make it possible to define the barycenters associated to a filtration, which are sometimes simpler to compute than the usual barycenters or averages, and which have an associative property. They are strongly related to control theory, stochastic optimization, and backward stochastic differential equations (BSDEs). Solving the problem with geometric arguments also gives tools for solving multidimensional quadratic EDSRs.During the thesis, two methods have been used for studying the problem of existence of a martingale with prescribed terminal value. The first one is based on a stochastic algorithm. The random variable that we try to reach will be deformed into a C¹-family ξ(a), and we deal with the following newer problem: does there exist a martingale X(a) with terminal value ξ(a)? A shooting method, using the same kind of principle as the deterministic geodesic shooting, will be used with respect to a parameter a towards ξ(a). The second one is the resolution of a multidimensional quadratic BSDE. The aim of this part will be to adapt to the multidimensional framework a recent strategy developed by Briand and Elie (2013) to treat multidimensional quadratic BSDEs. This new approach makes it possible to rediscover the results obtained by different methods. Beyond the unification, this new approach paves the way for potential future works.
Définies il y a quelques décennies, les martingales dans les variétés sont maintenant des objets bien connus. Des questions très simples restent en suspens cependant. Par exemple,étant donnée une variable aléatoire à valeurs dans une variété complète, et une filtration continue(dont toute martingale réelle possède une version continue), existe-t-il une martingale continue dans cette variété qui a pour valeur terminale donnée cette variable aléatoire ? Que dire des semimartingales de valeur terminale et dérives données ? Le but principal de cette thèse est d’apporter des réponses à ces questions. Sous des hypothèses de géométrie convexe, des réponses sont données dans les articles de Kendall (1990), Picard (1991), Picard (1994), Darling (1995) ou encore Arnaudon (1997). Le cas des semimartingales a plus largement été traité par Blache (2004). Les martingales dans les variétés permettent de définir les barycentres associés à une filtration, qui sont parfois plus simples à calculer que les barycentres usuels ou les moyennes, et qui possèdent une propriété d’associativité. Ils sont fortement reliés à la théorie du contrôle, à l’optimisation stochastique, ainsi qu’aux équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs). La résolution du problème avec des arguments géométriques donne par ailleurs des outils pour résoudre des EDSRs quadratiques multidimensionnelles.Au cours de cette thèse deux principales méthodes ont été employées pour étudier le problème de l’existence de martingale de valeur terminale donnée. La première est basée sur un algorithme stochastique. La variable aléatoire que l’on cherchera à atteindre sera d’abord déformée en une famille ξ(a) de classe C¹, et on se posera la question suivante : existe-t-il une martingale X(a) de valeur terminale ξ(a) ? Une méthode de tir, selon un principe similaire au tir géodésique déterministe, sera employée relativement au paramètre a en direction de la variable aléatoire ξ(a). La seconde est basée sur la résolution générale d’une EDSR multidimensionnelle à croissance quadratique. La principale problématique de cette partie sera d’adapter au cadre multidimensionnel une stratégie récente développée par Briand et Elie (2013) permettant de traiter les EDSRs quadratiques multidimensionnelles. Cette approche nouvelle permet de retrouver la plupart des résultats partiels obtenus par des méthodes différentes. Au-delà de l’intérêt unifiant,cette nouvelle approche ouvre la voie à de potentiels futurs travaux.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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