L’un des indices de performance les plus importants pour un système de contrôle automatique est la vitesse de réponse, qui correspond au temps mis par le système pour répondre à une entrée donnée ou à une perturbation externe. L’obtention d’une réponse rapide est un problème d’ingénierie difficile, pour la solution duquel diverses méthodes de conception d’une commande automatique sont développées. Par exemple, dans le cas le plus simple, le temps d’établissement d’un système de contrôle peut être réduit en augmentant de manière appropriée les gains de rétroaction d’un contrôleur statique linéaire. Cependant, l’augmentation de la vitesse de réponse de cette manière conduit à des oscillations transitoires d’une amplitude considérable, voire à la perte de stabilité dans le cas de systèmes à retard. Une autre façon d’obtenir les performances requises consiste à concevoir un système de contrôle non linéaire. Par rapport à leurs homologues linéaires, les contrôleurs non linéaires permettent non seulement d’accélérer considérablement la vitesse de réponse mais aussi de garantir la décroissance en temps fini des transitoires. Cependant, en raison de la complexité de l’analyse de stabilité des systèmes non linéaires, les algorithmes de calcul des paramètres d’un contrôleur (observateur) non linéaire n’existent pas du tout ou ne sont applicables que pour les systèmes d’ordre inférieur. Par conséquent, l’objectif de la recherche était de développer une méthode simple et constructive de conception d’une commande automatique non linéaire. À cette fin, la méthode implicite de Lyapunov, qui est basée sur l’étude d’une fonction de Lyapunov définie implicitement par une certaine équation algébrique non linéaire, a été choisie comme outil principal pour l’analyse de stabilité dans la thèse. Grâce à la formulation implicite, les conditions de stabilité suffisantes pour les systèmes de contrôle non linéaires peuvent être présentées sous la forme d’inégalités matricielles linéaires, qui peuvent être vérifiées numériquement de manière très efficace en utilisant un logiciel mathématique approprié. Par conséquent, le calcul des paramètres du contrôleur (observateur), qui assurent la performance requise du système en boucle fermée, est considérablement simplifié. Pour démontrer les avantages et les capacités de la méthode implicite de Lyapunov, plusieurs problèmes liés à la stabilisation et à l’estimation d’état superexponentielle (hyperexponentielle et en temps fini/fixe) des systèmes dynamiques ont été résolus dans la thèse. Premièrement, une méthode de type Razumikhin a été proposée pour l’analyse de la stabilité hyperexponentielle et en temps fixe des systèmes à retard. Contrairement à la méthode originale de Lyapunov-Razumikhin, l’approche proposée permet non seulement d’étudier la stabilité d’un système à retard mais aussi d’estimer la vitesse à laquelle les trajectoires du système convergent vers le point d’équilibre. Cependant, en raison de la complexité de la formulation des conditions suffisantes de type Razumikhin pour la stabilité hyperexponentielle et en temps fixe au moyen d’une seule fonction, dans la méthode proposée, l’analyse de la stabilité est effectuée en deux étapes en utilisant une fonction de Lyapunov-Razumikhin différente pour chacune d’elles. Tout d’abord, il est prouvé que toute trajectoire du système entre dans une région fermée spécifiée centrée sur l’origine en temps fini et ne la quitte plus jamais. Ensuite, la deuxième fonction est utilisée pour montrer qu’une fois que les trajectoires sont dans la région spécifiée, elles convergent vers l’origine de manière hyperexponentielle ou en temps fixe, respectivement. En outre, pour rendre la méthode proposée plus adaptée à la conception d’une commande automatique non linéaire, les théorèmes implicites de Lyapunov-Razumikhin ont également été formulés. L’avantage de la formulation implicite a été illustré en résolvant les problèmes de stabilisation hyperexponentielle et en temps fixe d’une sous-classe spéciale de systèmes à retard. Il a été démontré que, sous certaines hypothèses non restrictives, les deux problèmes peuvent être facilement résolus en utilisant le même contrôleur non linéaire qui stabilise le système sans retard correspondant en temps fixe. En appliquant la méthode implicite de Lyapunov-Razumikhin développée pour l’analyse de stabilité du système en boucle fermée, le réglage des paramètres du contrôleur non linéaire, qui garantit la stabilisation superexponentielle avec la vitesse requise, a été réduit à la vérification d’inégalités matricielles linéaires. Les résultats théoriques obtenus ont été étayés par la simulation numérique du système de contrôle conçu pour différentes conditions initiales et différents retards. Deuxièmement, la notion de stabilité entrée-état pratique en temps fixe a été introduite pour les systèmes à retard de type neutre avec des perturbations externes bornées et caractérisées par la méthode de Lyapunov-Krasovskii, qui a été formulée à la fois explicitement et implicitement. Sur la base des résultats théoriques obtenus, une méthode alternative de stabilisation en temps fixe, robuste et pratique, des systèmes linéaires sous la forme canonique commandable a été proposée. À cette fin, le vecteur d’état a d’abord été approximé au moyen de la méthode des différences finies, c’est-à-dire sur la base des valeurs passées du signal de sortie. Contrairement aux approches basées sur les observateurs, le schéma d’approximation par différences finies ne nécessite pas la résolution d’équations différentielles supplémentaires en temps réel, ce qui simplifie sa mise en œuvre pratique. Ensuite, un contrôleur non linéaire a été conçu pour stabiliser pratiquement le système en temps fixe. Pour obtenir une stabilisation rapide, le degré non linéaire de la rétroaction est modifié dynamiquement en fonction de la distance par rapport à l’origine des trajectoires du système en boucle fermée. Pour appliquer la méthode de Lyapunov-Krasovskii développée, il a été démontré que le système en boucle fermée est un système à retard de type neutre en raison de la relation intégrale spéciale entre l’état et son approximation en différence finie. En utilisant le théorème implicite de Lyapunov-Krasovskii formulé, des conditions de stabilité suffisantes pour le système de contrôle non linéaire conçu ont été présentées sous la forme d’inégalités matricielles linéaires, dont les solutions sont utilisées pour le calcul des paramètres du contrôleur. De plus, l’impact du retard induit artificiellement sur la précision de la stabilisation a également été étudié quantitativement. Enfin, il a été prouvé théoriquement et illustré numériquement que, tant dans les cas sans perturbation que dans les cas perturbés, le contrôleur non linéaire proposé stabilise le système considéré au voisinage de l’origine beaucoup plus rapidement que son homologue linéaire. Troisièmement, le problème de la stabilisation robuste en temps fini de la sortie de systèmes linéaires sous contraintes d’état a été abordé. Géométriquement, la classe de contraintes d’état considérée représente une région fermée (hyperoctaèdre, hypersphère ou hypercube) centrée à l’origine, dans laquelle les trajectoires du système en boucle fermée doivent rester. Pour résoudre le problème, un observateur non linéaire de type Luenberger a d’abord été conçu en utilisant la méthode implicite de Lyapunov afin de reconstruire le vecteur d’état en temps fini. Ensuite, une loi de commande continue a été proposée, qui est linéaire lorsque les trajectoires du système en boucle fermée risquent de violer les contraintes d’état, et non linéaire dans le cas contraire. La rétroaction linéaire a été choisie pour que la matrice du système en boucle fermée soit de Hurwitz et à diagonale dominante. De ce fait, les trajectoires du système en boucle fermée convergent non seulement de manière exponentielle vers l’origine mais ne quittent pas non plus la région spécifiée. Une fois que les trajectoires atteignent la surface de commutation, la rétroaction non linéaire est utilisée pour accélérer le taux de convergence, c’est-à-dire pour stabiliser le système en temps fini. Cependant, contrairement à l’observateur en temps fini, la mise en œuvre pratique du contrôleur en temps fini nécessite le calcul en ligne de la fonction implicite de Lyapunov. Comme la solution analytique de l’équation non linéaire correspondante ne peut être trouvée dans le cas général, la méthode de la bissection a été utilisée pour calculer numériquement la fonction implicite de Lyapunov. Par rapport aux méthodes existantes de stabilisation des systèmes dynamiques sous contraintes d’état basées sur les fonctions de barrière de contrôle et les fonctions de barrière de Lyapunov, le réglage du système de contrôle non linéaire proposé est extrêmement simple : les paramètres de l’observateur et du contrôleur sont trouvés à partir des solutions des inégalités et des équations matricielles linéaires. La simulation numérique du système de contrôle conçu a montré que, pour des perturbations externes suffisamment petites, le système linéaire est stabilisé en temps fini sans violer les contraintes d’état. Par conséquent, la thèse a démontré comment divers problèmes liés à la stabilisation et à l’estimation d’état superexponentielle des systèmes dynamiques peuvent être résolus efficacement en utilisant la méthode implicite de Lyapunov et ses modifications. Par rapport aux méthodes existantes de conception d’une commande automatique non linéaire, le principal avantage de l’approche développée est que tous les paramètres d’un contrôleur (observateur) non linéaire peuvent être calculés numériquement en résolvant des inégalités et des équations matricielles linéaires. Une méthode de calcul aussi simple offre un moyen constructif de régler les paramètres de commande afin d’obtenir la vitesse de réponse requise et/ou la robustesse par rapport à des perturbations externes bornées. Cependant, les systèmes de contrôle automatique conçus à l’aide de la méthode implicite de Lyapunov ne sont pas sans inconvénients. D’une part, la mise en œuvre pratique du contrôleur nécessite généralement le calcul en ligne de la fonction implicite de Lyapunov au moyen de méthodes numériques de recherche d’un zéro d’une fonction (par exemple, de la méthode de la bissection), ce qui augmente la complexité de calcul de l’algorithme de contrôle. D’autre part, malgré la mise en œuvre relativement simple de l’observateur en temps fini, le calcul de ses paramètres devient plus compliqué en raison de la nécessité de vérifier une inégalité matricielle paramétrée (par exemple, en utilisant l’algorithme itératif proposé dans la thèse). Ainsi, une des directions possibles pour les recherches futures pourrait être de modifier la structure du contrôleur et de l’observateur afin de simplifier leur implémentation et leur réglage, respectivement. Enfin, en plus d’améliorer les schémas de contrôle proposés, il est également essentiel d’évaluer leurs performances dans la pratique et de les comparer aux approches existantes (par exemple, au contrôle PID ou à la commande prédictive).