Rings of integer-valued polynomials and Fatou extensions
Anneaux de polynômes à valeurs entières et extensions de Fatou
Résumé
This work has its origins in certain questions concerning Fatou rings.
Let's recall, roughly, the definition of Fatou rings introduced by BENZAGHOU : An integral ring A of fraction field K is said to be Fatou when the following condition is met: if a rational fraction in X, with coefficients in K, P (X)/Q(X), (satisfying certain normalization conditions to be specified) has a series development in X with coefficients in A, then the polynomials P and Q have coefficients in A. We use this terminology because FATOU has shown that Z has such a property.
BENZAGHOU [3] showed that an integral ring which is an intersection of valuation rings of height 1 is Fatou and that a Fatou ring is completely closed. He then posed a number of questions:
1) Does the notion of a Fatou ring transfer to the ring of polynomials?
2) Does the notion of a Fatou ring extend to localized rings?
3) Is the class of Fatou rings confused with the class of integral rings, which are intersections of rings of valuation da height 1?
4) Is the class of Fatou rings confused with the class of completely closed rings?
This led us to study :
- rings A such that any polynomial with coefficients in K and values in A for any element of A actually has coefficients in A (we'll call these "substitutive rings") and, more generally :
- the sub-ring of K[X] formed by polynomials which have values in A for any element of A (we'll call it A[X]_sub and "the ring of integer-valued polynomials over A", by analogy with the case studied by POLYA [37] and OSTROWSKI [34] where A is the ring of integers of a number field).
Ce travail a pour origine certaines questions concernant les anneaux de Fatou.
Rappelons, en gros, la définition des anneaux de Fatou introduite par BENZAGHOU :
On dit qu'un anneau intègre A de corps des fractions K est de Fatou lorsque la condition suivante est réalisée : si une fraction rationnelle en X, à coefficients dans K, P (X)/Q(X), (vérifiant certaines conditions de normalisation à préciser) possède un développement en série en X à coefficients dans A, alors les polynômes P et Q sont à coefficients dans A.
On emploie cette terminologie car FATOU a montré que Z jouissait d'une telle propriété.
BENZAGHOU [3] a montré qu'un anneau intègre qui est intersection d'anneaux de valuation de hauteur 1 est de Fatou et qu'un anneau de Fatou est complètement intégralement clos. Il a ensuite posé un certain nombre de questions :
1) La notion d'anneau de Fatou passe-t-elle à l'anneau des polynômes ?
2) La notion d'anneau de Fatou passe-t-elle aux localisés ?
3) La classe des anneaux de Fatou est-elle confondue avec la classe des anneaux intègres qui sont intersection d'anneaux de valuation da hauteur 1 ?
4) La classe des anneaux de Fatou est-elle confondue avec la classe des anneaux complètement intégralement clos ?
Aussi, avons-nous été amenés à étudier :
- les anneaux A tels que tout polynôme à coefficients dans K et à valeurs dans A pour tout élément de A soit en fait à coefficients dans A (on les appellera "anneaux substitutiels" ) et de façon plus générale :
- le sous-anneau de K[X] formé des polynômes qui sont à valeurs dams A pour tout élément de A (on le notera A[X]_sub et on l'appellera "anneau des polynômes à valeurs entières sur A" par analogie avec le cas étudié par POLYA [37] et OSTROWSKI [34] où A est l'anneau des entiers d'un corps de nombres).
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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