Entropies and Markov representation of regular maps on the interval
Entropies et représentation markovienne des applications régulières sur l’intervalle
Résumé
The central purpose of this thesis is to analyze smooth interval maps: we provide a precise description of the dynamics of the transitive components (whose disjoint union is the non-wandering set) and we bound their multiplicity. In particular, we show that, if the map is indefinitely derivable, the set of measures maximizing the entropy is a finite-dimensional simplex. Let us stress that the set of critical points is not assumed to be finite. This work therefore generalizes a result of F. Hofbauer about piecewise montonic maps. It may also be seen as a first preparation to the study of multi-dimensional cases. In another direction, we make more precise the above result of F. Hofbauer: we bound the number of transitive components of given entropy, by four times the number of monotonicity and continuity intervals.
First, we generalize the Markov extension and the related isomorphism result of F. Hofbauer to an arbitrary symbolic system. Then, assuming the connexity of cer tain sets, we bound the entropy of the part neglected by the previous isomorphism by the topological entropy of the border of the partition.
Second, we recall -with proofs- A.M. Blokh’s Spectral Decomposition theorem for continuous interval maps and Y. Yomdin’s theory about differentiable maps (in arbitrary dimension). In particular, we give a simple proof of S.E. Newhouse’s result about the semi-continuity of the metric entropy for indefinitely differentiable maps. We deduce from these results the finite multiplicity of the transitive components with large entropy.
L'objectif central de cette thèse est d'analyser les applications lisses d'intervalle : nous fournissons une description précise de la dynamique des composantes transitives (dont l'union disjointe est l'ensemble non errant) et nous limitons leur multiplicité. En particulier, nous montrons que, si l'application est indéfiniment dérivable, l'ensemble des mesures maximisant l'entropie est un simplexe de dimension finie. Soulignons que l'ensemble des points critiques n'est pas supposé fini. Ce travail généralise donc un résultat de F. Hofbauer sur les applications montoniques par morceaux. Il peut également être considéré comme une première préparation à l'étude des cas multidimensionnels. Dans une autre direction, nous précisons le résultat de F. Hofbauer : nous limitons le nombre de composantes transitives d'une entropie donnée, par quatre fois le nombre d'intervalles de monotonicité et de continuité.
Tout d'abord, nous généralisons l'extension de Markov et le résultat d'isomorphisme de F. Hofbauer à un système symbolique arbitraire. Ensuite, en supposant la connexité de certains ensembles, nous limitons l'entropie de la partie négligée par l'isomorphisme précédent par l'entropie topologique de la frontière de la partition.
Ensuite, nous rappelons -avec des preuves- le théorème de décomposition spectrale d'A.M. Blokh pour les applications d'intervalles continues et la théorie de Y. Yomdin sur les applications différentiables (en dimension arbitraire). En particulier, nous donnons une preuve simple du résultat de S.E. Newhouse sur la semi-continuité de l'entropie métrique pour les applications indéfiniment différentiables. Nous déduisons de ces résultats la multiplicité finie des composantes transitives à grande entropie.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)