Considerations on a nonlinear problem
Considérations sur un problème non linéaire
Résumé
In this work we will consider some questions concerning the following problem, posed in a bounded and regular open Ω of boundary ∂Ω of R^N :
-Δu = λP_Ku in Ω
(*) u = θϕ on ∂Ω, θ ∈ R unknown
λ ∫P_K(u)ψ = I, I > 0 given
where K is a closed convex of L^2(Ω), ϕ ∈ H^1/2(∂Ω) given ψ its harmonic reading (i.e., -Δψ = 0 in Ω and ψ = ϕ on ∂Ω).
When K = {v ∈ L^2(Ω); v >= 0 p.p. in Ω} and ϕ ≡ on ∂Ω, we find the problem introduced by R. Temam and also studied by many authors (cf. Berestycki-Brézis, J.P. Puel, A. Damlamian, M. Sermange):
-Δu = λu+ in Ω
u = θ unknown constant in ∂Ω
-∫_∂Ω ∂u/∂n dr = I
The latter has its origins in the search for energy through magnetic fusion. More precisely, it is a mathematical problem corresponding to a simplified model for the equilibrium of a plasma confined inside a Tokamak machine.
Our work is organized into three chapters:
In the first, we present an equivalent formulation of (*) (corresponding to decoupling), for which we study questions of existence, uniqueness and regularity of solutions. We also give some examples to illustrate the theoretical results.
In the second part, we study the numerical approximation of the problem (under the second formulation). We propose an algorithm for calculating solutions, with the problem discretized by a finite element method. An error estimate for certain values of λ is also established.
The third chapter gives qualitative results for the solutions of two examples corresponding to free boundary problems. These are isoperimetric-type inequalities inspired by the work of J. Mossino and I. Stackgold.
Dans ce travail nous nous pencherons sur quelques questions concernant le problème suivant, posé dans un ouvert borné et régulier Ω de frontière ∂Ω de R^N :
-Δu = λP_Ku dans Ω
(*)u = θϕ sur ∂Ω, θ ∈ R inconnu
λ ∫P_K(u)ψ = I, I > 0 donné
où K est un convexe fermé de L^2(Ω), ϕ ∈ H^1/2(∂Ω) donné ψ sa relevée harmonique (c.a.d., -Δψ = 0 dans Ω et ψ = ϕ sur ∂Ω).
Lorsque K = {v ∈ L^2(Ω) ; v >= 0 p.p. dans Ω} et ϕ ≡ sur ∂Ω, nous retrouvons le problème introduit par R. Temam et étudié également par de nombreux auteurs (cf. Berestycki-Brézis, J.P. Puel, A. Damlamian, M. Sermange) :
-Δu = λu+ dans Ω
u = θ constante inconnue sur ∂Ω
-∫_∂Ω ∂u/∂n dr = I
Ce dernier a son origine dans les recherches de l'énergie par la fusion magnétique. Plus précisément, c'est un problème mathématique correspondant à une modélisation simplifiée pour l'équilibre d'un plasma confiné à l'intérieur d'une machine Tokamak.
Notre travail s'organise en trois chapitres :
Dans le premier, nous présentons une formulation équivalente de (*) (correspondant à un découplage), pour laquelle on étudie les questions d'existence, d'unicité et de régularité des solutions. Nous donnons aussi quelques exemples qui illustrent les résultats théoriques.
Dans le deuxième, nous étudions l'approximation numérique du problème (sous la deuxième formulation). Nous proposons un algorithme pour le calcul des solutions, le problème étant discrétisé par une méthode d'éléments finis. Une estimation d'erreur pour certaines valeurs de λ est aussi établie.
Le troisième chapitre donne des résultats qualitatifs pour les solutions de deux exemples correspondant à des problèmes à frontières libres. Ce sont des inégalités de type isopérimétrique qui s'inspirent des travaux de J. Mossino et I. Stackgold.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)