Mathematical study of physics partial differential equations with values in a manifold
Etude mathématique d'équations aux dérivées partielles de la physique à valeurs dans une variété
Résumé
This thesis contains two parts, which both concern the study of Partial Differential Equations whose unknown takes values into a manifold. The first part is motivated by the mathematical study of liquid crystals. Harmonic maps are a simplified model. First, we study the Dirichlet problem for harmonic maps between the disc and the sphere. We answer completely to the question of the multiplicity of solutions with respect to the boudary datum. Then, we consider the heat flow associated to harmonic maps between two riemannian manifolds and we prove the existence of a global smooth solution to the Cauchy problem for "small" initial data. Eventually, we construct weak solutions for this flow and for the flow associated to relaxed energies . A non-uniqueness result is also given.
The second part is devoted to the study of the Cauchy problem for the Ishimori equations that describe the evolution of a system of spins in ferromagnetism. We prove the existence of a global strong solution for "small" initial data.
Cette thèse est constituée de deux parties. Leur point commun est l'étude d'équations aux dérivées partielles dont l'inconnue est assuiettie à prendre ses valeurs dans une variété.
La première partie est motivée par l'étude mathématique des cristaux liquides et concerne un modèle simplifié: les Applications harmoniques entre deux variétés. Dans un premier temps nous étudions le problème de Dirichlet pour les applications harmoniques entre le disque et la sphère. Nous répondons entièrement à la question de la multiplicité des solutions en fonction de la donnée au bord. Nous considérons ensuite le flot de la chaleur associé aux applications harmoniques entre deux variétés riemanniennes et nous montrons l'existence globale d'une solution forte au problème de Cauchy pour "petites" données initiales. Finalement, nous construisons des solutions faibles pour ce flot ainsi que pour le flot associé aux énergies relaxées grâce à une discrétisation en temps. Un résultat de non-unicité des solutions faibles est également prouvé.
La deuxième partie est l'étude du problème de Cauchy pour les équations d'Ishimori qui décrivent l'évolution d'un système de spins en ferromagnétisme. Nous montrons l'existence d'une solution forte globale pour "petites" données initiales.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)