Cette thèse comporte deux parties indépendantes. Dans la première (qui est un travail commun avec A. Marin) le résultat principal concerne les variétés différentiables de dimension quatre, connexes, compactes, sans bord et simplement connexes,. Si M est une telle variété et F une surface (non nécessairement orientable) caractéristique pour M, nous établissons une congruence reliant la signature de M, l'auto-intersection de F dans M, et l'invariant d'Arf d'une forme quadratique définie sur le premier groupe d'homologie de F. Cette formule généralise une congruence célèbre de Rohlin. Nous calculons aussi d'une manière nouvelle et géométrique les groupes de cobordisme des variétés différentiables orientées de dimension trois et quatre. Ces méthodes s'étendent pour donner un calcul des groupes correspondants où les variétés sont de plus munies d'une structure spin. Dans la seconde partie, nous donnons une preuve simple et rigoureuse d'une version légèrement renforcée du théorème de translation plane de Brouwer. Puis nous montrons comment notre version de ce théorème permet une déduction très rapide du théorème de Poincaré-Birkhoff sur les homéomorphismes de l'anneau.